1984-1985

XXXVI OM - II - Zadanie 2

Udowodnić, że dla liczby naturalnej $ n > 2 $ liczba $ n! $ jest sumą $ n $ różnych swoich dzielników.

XXXVI OM - II - Zadanie 1

Wewnątrz trójkąta $ ABC $ wybrano punkt $ P $. Niech $ a, b, c $ będą odpowiednio długościami boków $ BC $, $ CA $, $ AB $, zaś $ x, y, z $ odległościami punktu $ P $ od wierzchołków $ B, C, A $. Dowieść, że jeżeli

\[<br /> \begin{split}<br /> x^2 + xy + y^2 &= a^2 \\<br /> y^2 + yz + z^2 &= b^2 \\<br /> z^2 + zx + x^2 &= c^2,<br /> \end{split}<br /> \]

to

\[<br /> a^2 + ab + b^2 > c^2.<br /> \]

XXXVI OM - I - Zadanie 12

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi równość

\[<br /> [\sqrt{9n-1}] = [\sqrt{n-1} + \sqrt{n} + \sqrt{n+1}].<br /> \]

Uwaga. $ [x] $ jest największą liczbą całkowitą nie większą od $ x $.

XXXVI OM - I - Zadanie 11

Podać przykład wielościanu wypukłego mającego 1985 ścian, wśród których są takie 993 ściany, że żadne dwie z nich nie mają wspólnej krawędzi.

XXXVI OM - I - Zadanie 9

W urnie jest 1985 kartek z napisanymi liczbami 1,2,3,..., 1985, każda lczba na innej kartce. Losujemy bez zwracania 100 kartek. Znaleźć wartość oczekiwaną sumy liczb napisanych na wylosowanych kartkach.

XXXVI OM - I - Zadanie 8

Udowodnić, że jeśli $ (a_n) $ jest takim ciągiem liczb rzeczywistych, że $ a_{n+2}=|a_{n+1}|-a_n $ dla $ n = 1,2,\ldots $, to $ a_{k+9} = a_k $ dla $ k = 1,2,\ldots $.

XXXVI OM - I - Zadanie 7

Dana jest rodzina $ A $ dwuelementowych podzbiorów zbioru liczb naturalnych. Udowodnić, że istnieje taki podzbiór nieskończony $ M $ zbioru liczb naturalnych, że albo wszystkie dwuelementowe podzbiory zbioru $ M $ należą do $ A $, albo żaden dwuelementowy podzbiór $ M $ nie należy do $ A $.

XXXVI OM - I - Zadanie 6

Obliczyć długości równoległych boków trapezu znając długości pozostałych boków i przekątnych.

XXXVI OM - I - Zadanie 5

Dane są ciągi nieskończone liczb rzeczywistych $ (x_j) $, $ (y_j) $. Niech

\[<br /> z_n = \frac{x_1y_n + x_2y_{n-1} + \ldots x_ny_1}{n} \quad\text{ dla } n=1,2,\ldots .<br /> \]

Udowodnić, że jeżeli dla pewnej liczby naturalnej $ m $ zachodzi $ z_j = 0 $ dla $ j < m $ oraz $ z_m = 1 $, to istnieją takie liczby naturalne $ p, q $, że $ x_py_q = m $.

Subskrybuje zawartość