1983-1984

XXXV OM - II - Zadanie 2

Na bokach trójkąta $ ABC $ budujemy podobne trójkąty równoramienne: trójkąt $ APB $ na zewnątrz trójkąta $ ABC $ ($ AP = PB $), trójkąt $ CQA $ na zewnątrz trójkąta $ ABC $ ($ CQ = QA $), trójkąt $ CRB $ do wewnątrz trójkąta $ ABC $ ($ CR = RB $). Dowieść, że $ APRQ $ jest równoległobokiem lub punkty $ A, P, R, Q $ leżą na prostej.

XXXV OM - II - Zadanie 1

Dla danej liczby naturalnej $ n $ znaleźć liczbę rozwiązań równania $ \sqrt{x} + \sqrt{y} = n $ w liczbach naturalnych $ x, y $.

Rozwiązanie

Dla $ n = 1 $ dane równanie nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych. Dla $ n > 1 $ każda para liczb $ x_1 = 1^2, y_1 = (n- 1)^2, x_2 = 2^2, y_2 = (n-2)^2, \ldots, x_{n-1} = (n - 1)^2, y_{n-1} = 1^2 $ stanowi oczywiście rozwiązanie danego równania, gdyż $ \sqrt{k^2} + \sqrt{(n - k)^2} = k+(n-k) = n $ dla $ 0 < k < n $.

Wykażemy, że innych rozwiązań nie ma. Gdyby para liczb naturalnych $ x $, $ y $ była rozwiązaniem danego równania, przy czym np. liczba $ x $ nie byłaby kwadratem liczby naturalnej, to spełniona byłaby równość $ y = (n -\sqrt{x})^2 $, skąd wynikałoby, że $ y-n^2 - x = 2n\sqrt{x} $. Po lewej stronie tej równości występuje liczba całkowita, zatem $ 2n \sqrt{x} $ również jest liczbą całkowitą. Zatem $ \sqrt{x} $ jest liczbą wymierną, $ \sqrt{x} = \frac{m}{n} $. Wobec tego $ x = \left( \frac{m}{n} \right)^2 $, $ xn^2 = m^2 $. W rozkładzie liczb $ n^2 $, $ m^2 $ na czynniki pierwsze każdy czynnik występuje w potędze o wykładniku parzystym. Wobec jednoznaczności rozkładu liczby naturalnej na czynniki pierwsze wynika stąd, że również w rozkładzie liczby $ x $ każdy czynnik pierwszy występuje w potędze o wykładniku parzystym,

\[<br /> x = p_1^{2k_1} p_2^{2k_2} \ldots p_s^{2k_s}<br /> \]

Zatem $ x $ jest kwadratem liczby naturalnej wbrew założeniu. Podobnie stwierdzamy,że żadna para liczb naturalnych $ (x, y) $, w której $ y $ nie jest kwadratem liczby naturalnej, nie jest rozwiązaniem danego równania.

Wobec tego dane równanie ma $ n - 1 $ rozwiązań w liczbach naturalnych.

XXXV OM - I - Zadanie 12

W kącie trójściennym $ W $ zawarta jest półprosta $ L $ przechodząca przez jego wierzchołek. Dowieść, że suma kątów utworzonych przez $ L $ z krawędziami $ W $ nie przekracza sumy kątów płaskich $ W $.

XXXV OM - I - Zadanie 11

Podać wzory wyraźne na $ n $-ty wyraz ciągów określonych wzorami rekurencyjnymi:

\[<br /> \begin{split}<br /> a_{n+1} &= 3a_n + b_n, \\<br /> b_{n+1} &= -a_n + b_n, \\<br /> a_1 = 14, &\; b_1 = -6.<br /> \end{split}<br /> \]

XXXV OM - I - Zadanie 10

Na płaszczyźnie dane jest $ 3n $ punktów, wśród których nie ma trzech punktów współliniowych. Dowieść, że istnieje $ n $ rozłącznych trójkątów o wierzchołkach w danych punktach.

XXXV OM - I - Zadanie 9

Trzy zdarzenia spełniają warunki:
a) ich prawdopodobieństwa są równe,
b) każde dwa spośród nich są niezależne,
c) nie zachodzą równocześnie.
Wyznaczyć największą wartość prawdopodobieństwa każdego z tych zdarzeń.

XXXV OM - I - Zadanie 8

Niech $ n $ będzie liczbą naturalną parzystą. Udowodnić, że czworokąt można podzielić na $ n $ trójkątów, których wierzchołki leżą w wierzchołkach czworokąta albo wewnątrz czworokąta, a bok każdego trójkąta jest albo bokiem czworokąta, albo bokiem innego trójkąta.

XXXV OM - I - Zadanie 7

Udowodnić, że dla dowolnych liczb naturalnych $ m, p $ większych od 1 spełniona jest nierówność

\[<br /> \sum_{k=1}^m \frac{1}{(k+1)\cdot\sqrt[p]{k}} < p.<br /> \]

XXXV OM - I - Zadanie 5

Udowodnić, że istnieje taka wielokrotność liczby $ 5^n $, której zapis w układzie dziesiętnym składa się $ n $ cyfr różnych od zera.

Subskrybuje zawartość