1981-1982

XXXIII OM - II - Zadanie 2

Płaszczyznę pokryto kołami w ten sposób, że środek każdego z tych kół nie należy do żadnego innego koła. Dowieść, że każdy punkt płaszczyzny należy do co najwyżej pięciu kół.

XXXIII OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli $c, d$ są liczbami całkowitymi, przy czym $c \neq d$ , $d > 0$ to równanie

$ x^3 - 3cx^2 - dx + c = 0 $

ma nie więcej niż jeden pierwiastek wymierny.

Niech S będzie zbiorem $n$ ( $n \geq 3$ ) punktów przestrzeni. Dla każdej płaszczyzny $\pi$ rozważamy liczbę $R(\pi)$ równą sumie odległości punktów zbioru $S$ od $\pi$ . Niech $\pi_0$ będzie taką płaszczyzną, że liczba $R(\pi_0)$ jest minimalna. Dowieść, że pewne trzy punkty zbioru $S$ należą do $\pi_0$ .

XXXIII OM - I - Zadanie 11

Liczby rzeczywiste $u, v, w$ są pierwiastkami równania $x^3 + qx + r = 0$ , gdzie $r \neq 0$ . Wyrazić pierwiastki równania $r^2x^3 + q^3x + q^3 = 0$ w zależności od $u, v, w$ i wykazać, że nie ma ono pierwiastków w przedziale $(-1, 3)$ .

XXXIII OM - I - Zadanie 10

W trójkącie $ABC$ punkty $A', B', C'$ są odpowiednio środkami boków $\overline{BC}, \overline{CA}, \overline{AB}$ , $H$ jest punktem przecięcia wysokości trójkąta. Okrąg o środku $H$ przecina prosta $B'C', C'A', A'B'$ odpowiednio w punktach $D_1$ i $D_2$ , $E_1$ i $E_2$ , $F_1$ i $F_2$ . Udowodnić, że długości odcinków $\overline{AD_1}, \overline{AD_2}, \overline{BE_1}, \overline{BE_2}, \overline{CF_1}, \overline{CF_2}$ są równe.

XXXIII OM - I - Zadanie 9

W szachownicy utworzonej przez podział kwadratu o boku długości $n$ na kwadraty jednostkowe prostymi równoległymi do boków kwadratu rozpatrujemy wszystkie kwadraty, których boki zawarte są w prostych wyznaczających szachownicę. Niech $1 \leq k \leq n$ i $P(k,n)$ oznacza liczbę tych kwadratów, których długości boków nie przekraczają $k$ . Niech $k(n)$ będzie największą spośród takich liczb $k$ , że $P(k, n) \leq \frac{1}{2} P(n, n)$ . Obliczyć $\lim_{n\to \infty} \frac{k(n)}{n}$ .

XXXIII OM - I - Zadanie 8

Dane są liczby naturalne $l, m, p, q, n$ spełniające warunki: $\frac{l}{m} < \frac{p}{q}$ i $m, q$ są względnie pierwsze. Udowodnić równoważność następujących warunków.
(1) Istnieje taka liczba naturalna $k$ , że

$ \frac{l}{m} < \frac{k}{n} < \frac{p}{q}. $

(2) Istnieją takie liczby naturalne $r, s$ , że ,

$ n=\frac{rm+sq}{pm-lq} $

XXXIII OM - I - Zadanie 7

Dowieść, że w dowolnym pięciokącie wypukłym, którego wszystkie boki mają długość a można umieścić trójkąt równoboczny o bokach długości $a$ .

XXXIII OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi nierówność

$ |\cos x| + |\cos 2x| + |\cos 4x| + \ldots + |\cos 2^n x| \geq \frac{n}{2}. $

XXXIII OM - I - Zadanie 5

W pewnym zakładzie pracy każdy pracownik jest członkiem dokładnie jednego ze 100 związków zawodowych. Pracownicy mają wybrać dyrektora spośród dwóch kandydatów. Członkowie każdego ze związków umawiają się, czy wstrzymują się od głosu lub na którego z dwóch kandydatów będą głosować. Dowieść, że istnieje taki związek, że jeśli jego członkowie wstrzymają się od głosowania, a członkowie wszystkich innych związków będą głosować na któregoś z dwóch kandydatów, to kandydaci na dyrektora nie otrzymają równej liczby głosów.

Olimpiady Matematyczne