1980-1981

XXXII - II - Zadanie 2

Dwa okręgi są styczne wewnętrznie w punkcie $P$ . Prosta styczna do jednego z okręgów w punkcie $A$ przecina drugi okrąg w punktach $B$ i $C$ . Udowodnić, że prosta $PA$ jest dwusieczną kąta $BPC$ .

XXXII - II - Zadanie 1

Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x_1, x_2, \ldots, x_{1981}$ , $y_1, y_2, \ldots, y_{1981}$ takich, że $\sum_{j=1}^{1981} x_j = 0$ , $\sum_{j=1}^{1981} y_j = 0$ zachodzi nierówność

$ \sqrt{\sum_{j=1}^{1981} (x_j^2+y_j^2)} \leq \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{j=1}^{1981} \sqrt{x_j^2+y_j^2}. $

XXXII - I - Zadanie 12

Dla danej liczby naturalnej $n > 1$ określamy ciąg $(a_0, a_1, \ldots, a_n)$ jak następuje:

$ \begin{split} a_0 &=\frac{1}{2}, \\ a_{k + 1} = a_k + \frac{a_k}{n^2}\quad \text{ dla }\quad k = 0, 1, 2, n - 1. \end{split} $

Udowodnić, że $a_n < 1$ .

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $n$ , dla których prawdziwe jest twierdzenie: Jeśli w wielokącie wypukłym o $2n$ bokach wpisanym w koło jest $n-1$ par boków równoległych, to pozostałe dwa boki też są równoległe.

XXXII - I - Zadanie 10

Wyznaczyć wszystkie funkcje $f$ odwzorowujące zbiór wszystkich liczb wymiernych $\mathbb{Q}$ w siebie spełniające następujące warunki:
a) $f(1)=2$ ,
b) $f(xy) = f(x)f(y)-f(x+y)+1$ dla $x, y \in \mathbb{Q}$ .

XXXII - I - Zadanie 9

W przestrzeni dany jest zbiór $3n$ punktów, z których żadne cztery nie leżą na jednej płaszczyźnie. Udowodnić, że zbiór ten można rozbić na $n$ takich zbiorów trójelementowych $\{A_i, B_i, C_i\}$ , że trójkąty $A_iB_iC_i$ są parami rozłączne.

XXXII - I - Zadanie 8

Dany jest punkt $P$ wewnątrz kuli ograniczonej sferą $S$ . Przekształcenie $f: S\to S$ jest określone jak następuje: dla punktu $X \in S$ punkt $f(X) \in S$ , $f(X) \neq X$ oraz $P\in \overline{Xf(X)}$ . Udowodnić, że obrazem dowolnego okręgu zawartego w $S$ w przekształceniu $f$ jest okrąg.

XXXII - I - Zadanie 7

Niech $(x_n)$ będzie ciągiem liczb naturalnych spełniających warunki
a) $x_1 < x_2 < x_3 <\ldots$ ,
b) istnieje takie $j \in \mathbb{N}$ , $j > 1$ , że $x_j = j$ ,
c) $x_{kl} = x_kx_l$ , dla względnie pierwszych $k,l \in \mathbb{N}$ .
Wykazać, że $x_n = n$ dla każdego $n$ .

XXXII - I - Zadanie 6

Dane są liczby $a_1\geq a_2 \geq \ldots \geq a_n \geq 0$ spełniające warunek $\sum_{i=1}^n a_i = 1$ . Udowodnić, że istnieją liczby całkowite $k_1\geq k_2 \geq \ldots \geq k_n \geq 0$ takie, że