1978-1979

XXX OM - II - Zadanie 2

Udowodnić, że jeżeli $a, b, c$ są liczbami nieujemnymi, to

$ a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \geq a^2(b + c) + b^2(a + c) + c^2(a + b). $

Dane są punkty $A$ i $B$ na brzegu basenu o kształcie koła. Sportowiec ma dotrzeć z punktu $A$ do punktu $B$ idąc wzdłuż brzegu basenu lub płynąc w basenie; może przy tym wielokrotnie zmieniać sposób poruszania się. Jak powinien poruszać się sportowiec, aby dotrzeć z punktu $A$ do $B$ w najkrótszym czasie, o ile wiadomo, że porusza się on w wodzie dwa razy wolniej niż na lądzie?

XXX OM - I - Zadanie 12

Aby zakwalifikować się do kadry, zawodnik musi przejść z pozytywnym wynikiem przez co najmniej cztery spośród siedmiu testów. Jeśli będzie się przygotowywał do wszystkich testów, to prawdopodobieństwo uzyskania sukcesu w każdym z tych testów jest jednakowe i równe $\frac{1}{2}$ . Jeśli będzie się przygotowywał do pięciu testów, to odpowiednie prawdopodobieństwo odniesienia sukcesu w każdym z tych pięciu testów będzie równe $\frac{3}{4}$ . Jeśli zaś będzie się przygotowywał do czterech testów, to prawdopodobieństwo odniesienia sukcesu w każdym z tych czterech testów wyniesie $\frac{4}{5}$ . Który z trzech wymienionych sposobów przygotowywania się jest najkorzystniejszy dla zawodnika?

XXX OM - I - Zadanie 11

Dana jest liczba dodatnia $p$ oraz trzy różne półproste $OA^{\rightarrow}$ , $OB^{\rightarrow}$ , $OC^{\rightarrow}$ zawarte w płaszczyźnie. Udowodnić, że istnieje dokładnie jedna taka trójka punktów $K, L, M$ , że $K\in OA^{\rightarrow}$ , $L \in OB^{\rightarrow}$ , $M\in OC^{\rightarrow}$ i obwód każdego z trójkątów $OKL$ , $OLM$ , $OMK$ jest równy $2p$ .

XXX OM - I - Zadanie 10

Dane są ciągi wielomianów $(P_n)$ , $(Q_n)$ określone, jak następuje:

$ \begin{split} P_0 = Q_0 &= 1, \\ P_n(x) &= P_{n-1}(x) + x^{2^{n-1}}\cdot Q_{n-1}(x),\\ Q_n(x) &= P_{n-1}(x) - x^{2^{n-1}} \cdot Q_{n-1}(x). \end{split} $

Niech $a_n$ będzie liczbą współczynników wielomianu $P_n$ równych 1. Udowodnić, że istnieje granica $\lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{2^n}$ i obliczyć ją.

XXX OM - I - Zadanie 9

Niech $r_k(n)$ będzie resztą z dzielenia liczby naturalnej $n$ przez liczbę naturalną $k$ oraz

$ R(n) = r_1(n) + r_2(n) + \ldots + r_n(n). $

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $m$ zachodzi równość $R(2^m-1) = R(2^m)$ .

XXX OM - I - Zadanie 8

Spośród stożków wpisanych w kulę $B$ wybrano taki stożek $S_1$ że kula $K_1$ wpisana w stożek $S_1$ ma maksymalną objętość. Następnie w kulę $B$ wpisano stożek $S_2$ o maksymalnej objętości, a w stożek $S_2$ wpisano kulę $K_2$ . Rozstrzygnąć, co jest większe: suma objętości $S_1$ i $K_1$ , czy suma objętości $S_2$ i $K_2$ .