1976-1977

XXVIII - II - Zadanie 2

Niech $ X $ będzie punktem wewnętrznym trójkąta $ ABC $ Dowieść, że iloczyn odległości punktu $ X $ od wierzchołków $ A, B, C $ jest co najmniej osiem razy większy od iloczynu odległości tego punktu od prostych $ AB, BC, CA $.

XXVIII - II - Zadanie 1

Niech $ a $ i $ b $ będą różnymi liczbami rzeczywistymi. Dowieść, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ c_1, c_2, \ldots,c_n $ istnieje ciąg $ n $-ele-mentowy $ (x_i) $, którego każdy wyraz równy jest jednej z liczb $ a $ lub $ b $ taki, że

\[<br /> |x_1c_1 + x_2c_2 + \ldots + x_nc_n| \geq \frac{|b-a|}{2}(|c_1|+|c_2|+\ldots+|c_n|).<br /> \]

XXVIII - I - Zadanie 12

Rozstrzygnąć, w którym z wielomianów $ (1 - 9x + 7x^2 - 6x^3)^{1976} $, $ (1 + 9x - 7x^2 + 6x^3)^{1976} $ współczynnik przy $ x^{1976} $ jest większy.

XXVIII - I - Zadanie 11

Spośród liczb $ 1, 2, \ldots, n $ wybieramy jedną, przy czym wybór każdej z nich jest jednakowo prawdopodobny. Niech $ p_n $ będzie prawdopodobieństwem takiego zdarzenia,, że w zapisie dziesiętnym wybranej liczby występują wszystkie cyfry: $ 0, 1, \ldots, 9 $. Obliczyć $ \lim_{n\to \infty} p_n $.

XXVIII - I - Zadanie 10

Udowodnić, że w każdym czworościanie istnieje wierzchołek, przy którym trzy kąty płaskie są ostre.

XXVIII - I - Zadanie 9

Funkcja $ f $ określona na zbiorze wszystkich liczb całkowitych przyjmuje tylko wartości dodatnie i spełnia warunek:

\[<br /> f(n) \geq \frac{1}{2}(f(n-1)+f(n+1))\quad \text{ dla } n = 0, 1, -1, 2, -2, \ldots<br /> \]

Dowieść, że funkcja $ f $ jest stała.

XXVIII - I - Zadanie 8

Dowieść, że zbiór $ \{1, 2, \ldots, 2^{s+1}\} $ można tak rozbić na dwa zbiory $ 2s $-elementowe $ \{x_1, x_2, \ldots, x_{2^s}\} $, $ \{y_1, y_2, \ldots, y_{2^s}\} $, że dla każdego naturalnego $ j \leq s $ zachodzi równość

\[<br /> \sum_{i=1}^{2^s} x_i^j = \sum_{i=1}^{2^s} y_i^j.<br /> \]

XXVIII - I - Zadanie 7

Trzy koła o promieniach równych 1 przecinają się tak, że ich część wspólna jest ograniczona trzema łukami, z których każdy należy do innego koła. Końce tych łuków oznaczmy przez $ K, L, M $. Pierwszy okrąg przecina drugi w punktach $ C $ i $ M $, drugi przecina trzeci w punktach $ A $ i $ K $, a trzeci przecina pierwszy w punktach $ B $ i $ L $.
Udowodnić, że suma długości łuków $ AM, BK, CL $ równa się $ \pi $.

XXVIII - I - Zadanie 5

Dowieść, że jeżeli $ P(x, y) $ jest takim wielomianem dwóch zmiennych, że $ P(x, y) = P(y, x) $ dla wszystkich $ x, y $ rzeczywistych oraz wielomian $ (x-y) $ dzieli $ P(x, y) $, to wielomian $ (x - y)^2 $ także dzieli $ P(x, y) $.

Subskrybuje zawartość