1975-1976

XXVII OM - I - Zadanie 11

Stacje nadawczo-odbiorcze są kolejno ze sobą połączone: $ S_0 $ z $ S_1 $, $ S_1 $ z $ S_2 $, ..., $ S_n $ z $ S_{n+1} $, ... Stacja $ S_0 $ nadaje sygnał 1 lub -1, stacja $ S_1 $ odbiera z prawdopodobieństwem $ 1 - \varepsilon $ ten sam sygnał, a z prawdopodobieństwem $ \varepsilon $ sygnał przeciwny. Stacja $ S_1 $ nadaje odebrany sygnał do stacji $ S_2 $ na tych samych zasadach, następnie stacja $ S_2 $ nadaje odebrany sygnał do stacji $ S_3 $, itd. Niech $ p^n(i|j) $ oznacza prawdopodobieństwo, że stacja $ S_n $ odbiera sygnał $ i $ pod warunkiem, że stacja $ S_0 $ nadała sygnał $ j $. Oblicz $ \lim_{n\to \infty} p^n(i|j) $.

XXVII OM - I - Zadanie 10

Punkty $ A', B', C', D' $ płaszczyzny $ Q $ są odpowiednio rzutami równoległymi punktów $ A, B, C, D $ płaszczyzny $ P $, przy czym punkty $ A, B, C, D, A', B', C', D' $ są różne i żadne trzy spośród nich nie leżą na prostej. Dowieść, że czworościany $ ABCD' $ i $ A'B'C'D $ mają równe objętości.

XXVII OM - I - Zadanie 9

W koło o promieniu 1 wpisano trójkąt o długościach boków $ a, b, c $. Dowieść, że trójkąt ten jest ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $ a^2 + b^2 + c^2 > 8 $, prostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $ a^2 + b^2 + c^2 = 8 $, rozwartokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $ a^2 + b^2 + c^2 < 8 $.

XXVII OM - I - Zadanie 8

Udowodnić, że na powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi długości 1 istnieją takie punkty $ P $ i $ Q $, że dowolny punkt powierzchni tego czworościanu można połączyć z jednym z punktów $ P $, $ Q $ łamaną długości $ \leq \frac{\sqrt{3}}{3} $ leżącą na powierzchni czworościanu.

XXVII OM - I - Zadanie 7

Dowieść, że dowolną parę okręgów nie przecinających się można przekształcić przez inwersję na parę okręgów współśrodkowych.

Uwaga: Inwersją względem okręgu o środku $ O $ i promieniu $ r $ nazywamy przekształcenie, które każdemu punktowi $ X $ płaszczyzny zawierającej ten okrąg różnemu od punktu $ O $ przyporządkowuje punkt $ Y $ leżący na półprostej $ OX^\to $ taki, że $ OX \cdot OY= r^2 $. O własnościach inwersji można przeczytać w książce S. Straszewicz; Zadania z olimpiad matematycznych. Warszawa 1956, str. 181-186 t. I.

XXVII OM - I - Zadanie 6

Znaleźć najmniejszą wartość funkcji określonej w zbiorze liczb rzeczywistych następującym wzorem

\[<br /> f(t) = \sum_{i=1}^n \frac{\sqrt{|x_i-t|}}{2^i}<br /> \]

gdzie $ x_1, x_2, \ldots, x_n $ są danymi liczbami rzeczywistymi.

XXVII OM - I - Zadanie 5

Rozpatrujemy następującą grę dwóch osób Gracz pierwszy losuje żeton z napisaną na nim liczbą naturalną (nazwijmy ją $ n $) i odejmuje od niej wybrany przez siebie dzielnik właściwy $ d $ tej liczby (tzn. dzielnik spełniający nierówność $ 1\leq d<n $). Drugi gracz postępuje podobnie z różnicą $ n - d $, tzn. odejmuje od tej różnicy jej dzielnik właściwy, a następnie otrzymany wynik przekazuje graczowi, pierwszemu. Postępowanie to jest kontynuowane. Gracz, który otrzymał od partnera liczbę 1, przegrywa. Który z grających może zapewnić sobie wygraną, jeżeli gracz pierwszy wylosował
a) żeton z liczbą 1975,
b) żeton z liczbą 1976?

Subskrybuje zawartość