1974-1975

XXVI - II - Zadanie 2

W czworokącie wypukłym $ ABCD $ na, bokach przyległych $ \overline{AB} $ i $ \overline{BC} $ obrano odpowiednie punkty $ M $ i $ N $ oraz oznaczono przez 0 punkt przecięcia odcinków $ AN $ i $ GM $. Dowieść, że jeżeli w czworokąty $ AOCD $ oraz $ BMON $ można wpisać koła, to w czworokąt $ ABCD $ też można wpisać koło.

XXVI - II - Zadanie 1

Dany jest wielomian $ W(x) = x^4 + ax^3 + bx + cx + d $. Dowieść, że jeżeli równanie $ W(x) = 0 $ ma cztery pierwiastki rzeczywiste, to na to, żeby istniało $ m $ takie, że $ W(x+m) = x^4+px^2+q $, potrzeba i wystarcza, aby suma pewnych dwóch pierwiastków równania $ W(x) = 0 $ równała się sumie pozostałych.

XXVI - I - Zadanie 12

W przestrzeni dany jest sześcian o boku $ a $, i kule $ B_1, B_2, \ldots, B_n $ o dowolnych promieniach takie, że każdy punkt sześcianu należy do którejś z kul. Udowodnić, że spośród tych kul można wybrać parami rozłączne kule takie, że suma ich objętości jest nie mniejsza od $ \left(\frac{a}{5}\right)^3 $.

XXVI - I - Zadanie 11

Statek porusza się ze stałą prędkością po prostej o kierunku wschód-zachód. Co $ T $ minut losuje się kierunek poruszania: z prawdopodobieństwem $ p $ statek porusza się w ciągu następnych $ T $ minut w kierunku wschodnim, z prawdopodobieństwem $ q= 1-p $ porusza się w kierunku zachodnim. W punkcie poza prostą znajduje się łódź podwodna, której zadaniem jest storpedowanie statku. Czas drogi torpedy od punktu wystrzelenia do dowolnego punktu toru statku wynosi $ 2T $. Kapitan łodzi podwodnej zna wartość $ p $ i celuje tak, aby prawdopodobieństwo trafienia statku było największe. Jak należy dobrać $ p $, aby prawdopodobieństwo storpedowania statku było najmniejsze ?

XXVI - I - Zadanie 10

Niech $ \alpha $ będzie liczbą niewymierną, $ A_1 $ - punktem okręgu $ S $ o środku $ O $. Rozważmy ciąg nieskończony $ A_n $ punktów okręgu $ S $, w którym punkt $ A_{k+1} $ jest obrazem punktu $ A_k $ w obrocie dookoła punktu $ O $ o kąt $ \alpha m $. Dowieść, że każdy łuk okręgu $ S $ zawiera pewne punkty ciągu $ A_n $.

XXVI - I - Zadanie 8

Dany jest trójkąt ostrokątny $ ABC $. Dopisujemy do niego na zewnątrz dwa trójkąty równoboczne $ ABC' $ i $ ACB' $. Niech $ K $ i $ L $ będą środkami boków $ \overline{AC'} $ i $ \overline{B'C} $ odpowiednio, a $ M $ - takim punktem odcinka $ \overline{BC} $, że $ BM = 3MC $.
Udowodnić, że kąty trójkąta $ KLM $ są równe $ 90^\circ $, $ 60^\circ $, $ 30^\circ $.

XXVI - I - Zadanie 7

Niech $ Z $ będzie zbiorem wszystkich ciągów skończonych o wyrazach $ a, b, c $ i niech $ Z_1 $ będzie podzbiorem $ Z $ zawierającym dla każdego $ k $ naturalnego dokładnie jeden ciąg $ k $-wyrazowy.
Tworzymy najmniejszy zbiór $ Z_2 $ o tej własności, że $ Z_2 \supset Z_1 $ oraz, jeżeli pewien ciąg $ k $-wyrazowy należy do $ Z_1 $, to każdy ciąg $ (k+r) $-wyrazowy ($ r = 1, 2, \ldots $) powstający z tego ciągu $ k $-wyrazowego przez dopisanie ciągu $ r $-wyrazowego na początku lub na końcu, należy do $ Z_2 $.
Udowodnić, że dla każdego $ k $ istnieje w $ Z $ ciąg $ k $-wyrazowy nie należący do $ Z_2 $.

XXVI - I - Zadanie 6

Niech $ T_n $ będzie ciągiem liczb całkowitych zdefiniowanym następująco :

\[<br /> T_n=n-1 \quad \text{ dla }n = 1, 2, 3, 4,<br /> \]
\[<br /> (1)\qquad T_{2k-1}= T_{2k-2} + 2^{k-2},<br /> \]
\[<br /> (2)\qquad T_{2k} = T_{2k-5} + 2^k, \text{ dla } k\geq 3<br /> \]

Dowieść, że

\[<br /> T_{2k-1}=\left[ \frac{12}{7} \cdot 2^{k-1}\right] \text{ dla } A = 1,2,\ldots<br /> \]

i znaleźć wzór dla $ T_{2k} $.

XXVI - I - Zadanie 5

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite $ m $, dla których wielomian $ x^3-mx^2+mx-(m^2+1) $ ma pierwiastek całkowity.

Subskrybuje zawartość