1973-1974

XXV OM - II - Zadanie 1

Niech $Z$ będzie zbiorem $n$ -elementowym. Znaleźć liczbę takich par zbiorów $(A, B)$ , że $A$ zawiera się w $B$ i $B$ zawiera się w $Z$ . Przyjmujemy, że każdy zbiór zawiera także siebie i zbiór pusty.

XXV OM - III - Zadanie 3

Niech $r$ będzie liczbą naturalną. Dowieść, że trójmian $x^2 - rx - 1$ nie jest dzielnikiem żadnego wielomianu $p(x) \neq 0$ o współczynnikach całkowitych, mniejszych co do wartości bezwzględnej od $r$ .

XXV - I - Zadanie 12

Dowieść, że w dowolnym kącie trójściennym, w którym co najwyżej jeden kąt płaski jest prosty, trzy proste prostopadłe w wierzchołku kąta trójściennego do jego krawędzi i zawarte w płaszczyznach ścian przeciwległych do tych krawędzi są zawarte w jednej płaszczyźnie.

XXV - I - Zadanie 11

Niech $X_n$ i $Y_n$ bądą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie $\left{ \left(\frac{k}{2^n}, \frac{1}{2^n}\right) : k = 0, 1, \ldots, 2^n-1\right}$ . Oznaczmy przez $p_n$ prawdopodobieństwo zdarzenia, że istnieje liczba rzeczywista $t$ spełniająca równanie $t^2 + X_n \cdot t + Y_n = 0$ . Obliczyć $\lim_{n\to\infty} p_n$ .

XXV - I - Zadanie 10

Każda przekątna pewnego pięciokąta wypukłego odcina od niego trójkąt o polu 1. Obliczyć pole tego pięciokąta.

XXV - I - Zadanie 9

Zbiór dokumentów rozdzielono na $n$ części dając je do przechowania $n$ osobom, z których każda posiada telefon. Dowieść, że dla $n \geq 4$ wystarczy $2n - 4$ rozmów telefonicznych, aby po ich przeprowadzeniu każda z $n$ osób znała treść wszystkich dokumentów.