1972-1973

XXIV OM - II - Zadanie 2

W kwadracie danych jest dziewięć punktów, z których, żadne trzy nie są współliniowe. Dowieść, że trzy spośród nich są wierzchołkami trójkąta o polu nie przekraczającym $ \frac{1}{8} $ pola kwadratu.

XXIV OM - II - Zadanie 1

Udowodnić, że jeżeli liczby dodatnie $ x, y, z $ spełniają nierówność

\[<br /> \frac{x^2+y^2-z^2}{2xy} + \frac{y^2+z^2-x^2}{2yz} + \frac{z^2+x^2-y^2}{2xz} > 1,<br /> \]

to są one długościami boków pewnego trójkąta.

XXIV OM - I - Zadanie 12

W klasie, w której jest n uczniów, urządzono mikołajki. Każdy uczeń losuje nazwisko osoby, której ma kupić prezent, zatem uczeń $ A_1 $ kupuje prezent uczniowi $ A_2 $, $ A_2 $ kupuje prezent $ A_3 $, ..., $ A_k $ kupuje prezent $ A_1 $, gdzie $ 1 \leq k \leq n $. Zakładając, że wszystkie wyniki losowań są jednakowo prawdopodobne, obliczyć prawdopodobieństwo tego, że $ k = n $.

XXIV OM - I - Zadanie 11

Udowodnić, że jeżeli środek kuli opisanej na czworościanie pokrywa się ze środkiem kuli wpisanej w ten czworościan, to ściany tego czworościanu są przystające.

XXIV OM - I - Zadanie 10

Znaleźć najmniejszą liczbę naturalną $ n > 1 $ o następującej własności: istnieje taki zbiór $ Z $ złożony z $ n $ punktów płaszczyzny, że każda prosta $ AB $ ($ A, B\in Z $) jest równoległa do pewnej innej prostej $ CD $ ($ C, D \in Z $).

XXIV OM - I - Zadanie 9

Liczby rzeczywiste $ x_1, x_2, \ldots, x_n $ spełniają warunki:

\[<br /> |x_i|=1 \quad (i = \, 2, \ldots, n),<br /> \]
\[<br /> x_1x_2+ x_2x_3 + \ldots +x_{n-1}x_n + x_nx_1 = 0.<br /> \]

Udowodnić, że liczba $ n $ jest podzielna przez 4.

XXIV OM - I - Zadanie 8

Znaleźć wielomian o współczynnikach całkowitych najniższego możliwego stopnia, którego pierwiastkiem jest $ \sqrt{2} + \sqrt{3} $.

XXIV OM - I - Zadanie 7

Udowodnić, że wśród pięciu odcinków leżących na jednej prostej są trzy odcinki mające punkt wspólny lub trzy odcinki parami rozłączne.

XXIV OM - I - Zadanie 6

Dowieść następującego twierdzenia: Cztery wysokości czworościanu $ ABCD $ przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy $ AB^2 + CD^2 = BC^2 + AD^2 = CA^2 + BD^2 $.

XXIV OM - I - Zadanie 5

Liczby rzeczywiste $ x_1, x_2, \ldots, x_n $ spełniają równanie

\[<br /> x_1 + x_2 + \ldots + x_n = 0,<br /> \]

niech $ m $ będzie najmniejszą, zaś $ M $ - największą z tych liczb. Dowieść, że $ x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 \leq -nmM $ i określić, kiedy zachodzi równość.

Subskrybuje zawartość