1971-1972

XXIII OM - II - Zadanie 2

W prostokącie o bokach długości 20 i 25 umieszczono 120 kwadratów o boku długości 1. Dowieść, że istnieje koło o średnicy 1 zawarte w tym prostokącie i nie mające punktów wspólnych z żadnym z tych kwadratów.

XXIII OM - II - Zadanie 1

Udowodnić, że nie istnieją takie liczby rzeczywiste $ a, b, c $, $ x_1, x_2, x_3 $, że dla każdej liczby rzeczywistej $ x $

\[<br /> \begin{split}<br /> ax^2 + bx + c &= a(x - x_2)(x - x_3), \\<br /> (1) \qquad bx^2 + cx + a &= b(x - x_3) (x - x_1),\\<br /> cx^2 + ax + b &= c(x - x_1) (x - x_2)<br /> \end{split}<br /> \]

oraz $ x_1 \neq x_2 $, $ x_2 \neq x_3 $, $ x_3 \neq x_1 $, $ abc \neq 0 $.

XXIII OM - I - Zadanie 10

Danych jest sześć punktów w przestrzeni, nie wszystkie w jednej płaszczyźnie. Dowieść, że wśród prostych wyznaczonych przez te punkty jest prosta nierównolegla do żadnej z pozostałych.

XXIII OM - I - Zadanie 9

Ile liczb naturalnych mniejszych od $ 10^n $ ma zapis dziesiętny, którego cyfry tworzą ciąg niemalejący?

XXIII OM - I - Zadanie 8

Na płaszczyźnie dane są dwa przystające trójkąty równoboczne $ ABC $ i $ A'B'C' $. Udowodnić, że jeżeli środki odcinków $ \overline{AA'} $, $ \overline{BB'} $, $ \overline{CC'} $ nie są współliniowe, to są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

XXIII OM - I - Zadanie 7

Łamana zawarta w kwadracie o boku długości 50 ma tę własność, że odległość dowolnego punktu tego kwadratu od niej jest mniejsza od 1 Udowodnić, że długość tej łamanej jest większa od 1248.

XXIII OM - I - Zadanie 6

Zbadać, dla jakich cyfr $ a $ zapis w układzie dziesiętnym pewnej liczby $ \frac{n(n+1)}{2} $ ($ n\in \mathbb{N} $) składa się z samych cyfr $ a $.

XXIII OM - I - Zadanie 5

Ciąg wielomianów $ P_0(x), P_1(x), P_2(x), \ldots $ jest określony wzorami $ P_0(x) = 2 $, $ P_1(x) = x $,

\[<br /> (1)\qquad P_{n+1}(x) = x\cdot P_n(x) - P_{n-1}(x) \quad (n=1, 2, \ldots).<br /> \]

Wykazać istnienie takich liczb rzeczywistych $ a, b, c $, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi równość

\[<br /> (2)\qquad (x^2 - 4) (P_n^2(x) - 4) = (a \cdot P_{n+1}(x) + b \cdot P_n(x) + c \cdot P_{n-1}(x))^2.<br /> \]
Subskrybuje zawartość