1970-1971

XXII OM - II - Zadanie 1

Na ile sposobów można tak wybrać $ k $ pól szachownicy $ n \times n $ ($ k \leq n $), aby żadne dwa z wybranych pól nie leżały ani w jednym wierszu, ani w jednej kolumnie?

XXII OM - I - Zadanie 12

Dowieść, że każdy wielościan wypukły ma ścianę trójkątną lub kąt trójścienny.

XXII OM - I - Zadanie 11

Rzucamy $ 2n $ razy monetą. Niech $ p_n $ oznacza prawdopodobieństwo, że otrzymamy serię o długości $ r > n $. Udowodnić, że $ \lim p_n = 0 $.

XXII OM - I - Zadanie 10

Dana jest tablica o $ n $ wierszach i $ n $ kolumnach. Liczba znajdująca się w $ m $-tej kolumnie i $ k $-tym wierszu równa jest $ n(k - 1) + m $. Jak należy wybrać $ n $ liczb, po jednej z każdego wiersza i każdej kolumny, aby iloczyn tych liczb był największy ?

XXII OM - I - Zadanie 9

Znaleźć cyfry $ a, b, c $, dla których przy każdym $ n $ naturalnym zachodzi równość

\[<br /> \overline{\underbrace{aa\ldots a}_n\underbrace{bb\ldots b}_n} + 1 = (\overline{\underbrace{cc\ldots c}_n} + 1)^2<br /> \]

Uwaga: Symbol $ \overline{a_1a_2\ldots a_k} $ oznacza liczbę, której kolejnymi cyframi w układzie dziesiętnym są $ a_1, a_2, \ldots, a_k $.

XXII OM - I - Zadanie 8

Dany jest sześcian o krawędzi długości 1; niech $ S $ oznacza powierzchnię tego sześcianu. Udowodnić, że istnieje taki punkt $ A \in S $, że
1) dla każdego punktu $ B \in S $ istnieje łamana łącząca $ A $ i $ B $ o długości nie większej niż 2 zawarta w $ S $;
2) istnieje taki punkt $ B \in S $, że nie istnieje łamana łącząca $ A $ i $ B $ zawarta w $ S $ o długości mniejszej niż 2.

XXII OM - I - Zadanie 7

Na płaszczyźnie danych jest pięć punktów kratowych (tzn. punktów o współrzędnych całkowitych). Udowodnić, że środek jednego z odcinków łączących te punkty jest również punktem kratowym.

XXII OM - I - Zadanie 6

Niech $ f(x,y,z) = \max(x^2 — yz, y^2 — xz, z^2 — xy) $. Znaleźć zbiór wartości funkcji $ f(x,y,z) $ rozpatrywanej dla liczb $ x,y,z $ spełniających warunki:

\[<br /> (1) \qquad x^2 + y^2 + z^2 = 5, \; yz + zx + xy = 2, \; x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0.<br /> \]

Uwaga: $ \max (a, b, c) $ jest to największa z liczb $ a, b, c $.

XXII OM - I - Zadanie 5

Dana jest liczba naturalna $ N $. Obliczyć liczbę takich ciągów $ (x_1, \ldots, x_N) $, że $ x_i = 7 $ albo $ x_i = —13 $ ($ i = 1, \ldots, N $) oraz

\[<br /> \sum_{i=1}^N x_i = 0.<br /> \]
Subskrybuje zawartość