1967-1968

XIX OM - II - Zadanie 2

Dany jest okrąg $k$ i wewnątrz niego punkt $H$ . Wpisać w okrąg taki trójkąt, żeby punkt $H$ był punktem przecięcia wysokości trójkąta.

XIX OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że wielomian zmiennej $x$ o współczynnikach całkowitych, którego wartość bezwzględna dla trzech różnych wartości całkowitych $x$ równa się 1, nie ma pierwiastków całkowitych.

Dany jest czworościan $A_1A_2A_3A_4$ . Udowodnić, że jeżeli punkty $P_1, P_2, P_3, P_4$ są rzutami prostokątnymi pewnego punktu $P$ przestrzeni odpowiednio na proste $A_1A_2, A_2A_3, A_3A_4, A_4A_1$ , to suma

$ A_1P_1^2 + A_2P_2^2 + A_3P_3^2 + A_4P_4^2 $

jest najmniejsza wtedy, gdy punkt $P$ jest środkiem kuli opisanej na czworościanie A $A_1A_2A_3A_4$ .

XIX OM - I - Zadanie 11

Na płaszczyźnie dany jest wielokąt, którego wszystkie kąty są równe. Dowieść, że suma odległości dowolnego punktu leżącego w wielokącie od prostych zawierających boki wielokąta jest stała.

XIX OM - I - Zadanie 10

Dowieść, że wielomian $W$ zmiennej $x$ określony wzorem

$ (1) \qquad W(x)=(x - a)^2 (x - b)^2 + l, $

gdzie $a$ i $b$ oznaczają liczby całkowite, nie jest iloczynem dwóch wielomianów zmiennej $x$ stopnia dodatniego mających współczynniki całkowite.

XIX OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że jeżeli $a_1, a_2, \ldots, a_n$ oznaczają liczby $1, 2, \ldots, n$ ustawione w dowolnym porządku, a $n$ jest liczbą nieparzystą, to liczba $N = (a_1 - 1)(a_2 - 2) \ldots (a_n - n)$ jest parzysta.

XIX OM - I - Zadanie 8

Dany jest czworościan $ABCD$ , w którym $AB = BC = CD = DA = 1$ . Dowieść, że objętość $V$ czworościanu $ABCD$ spełnia nierówność

$ V\leq \frac{2}{27} \sqrt{3}. $

XIX OM - I - Zadanie 7

Punkty $D, E, F$ są środkami boków trójkąta $ABC$ . Dowieść, że jeżeli okręgi opisane na trójkątach $ABC$ i $DEF$ są styczne, to punkt styczności jest jednym z punktów $A$ , $B$ , $C$ i trójkąt $ABC$ jest prostokątny.

XIX OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli wielomian $F(x)$ o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek $\frac{p}{q}$ , gdzie $p$ i $q$ są liczbami całkowitymi względnie pierwszymi, to $p - q$ jest dzielnikiem liczby $F(1)$ , a $p + q$ jest dzielnikiem liczby $F(-1)$ .

XIX OM - I - Zadanie 5

Dany jest zbiór $2n$ ( $n \geq 2$ ) różnych liczb. Jak podzielić ten zbiór na pary, żeby suma iloczynów liczb poszczególnych par była a) najmniejsza, b) największa?

Olimpiady Matematyczne