1966-1967

XVIII OM - II - Zadanie 2

Na sali znajduje się 100 osób, z których każda zna co najmniej 66 spośród pozostałych 99 osób. Dowieść, iż jest możliwe, że w każdej czwórce tych osób są takie dwie, które się nie znają. Przyjmujemy, że jeśli osoba $A$ zna osobę $B$ , to również osoba $B$ zna osobę $A$ .

XVIII OM - II - Zadanie 1

Dany jest ciąg liczb $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ( $n \geq 3$ ), w którym $a_1 = a_n = 0$ oraz $a_{k-1}+a_{k+1} \geq 2a_{k+1}$ dla $k = 2, 3, \ldots, (n - 1)$ . Dowieść, że w tym ciągu nie ma wyrazów dodatnich.

XVIII OM - I - Zadanie 12

Dowieść, że jeżeli punkty $A, B, C, D, E$ przestrzeni są tak położone, że

$ (1) \qquad AB = BC = CD = DE = EA, $

$ (2) \qquad \measuredangle ABC = \measuredangle BCD = \measuredangle CDE = \measuredangle DEA = \measuredangle EAB, $

to punkty $A, B, C, D, E$ znajdują się na jednej płaszczyźnie.

XVIII OM - I - Zadanie 11

Dane są trzy okręgi o tym samym promieniu, przecinające się parami i mające jeden punkt wspólny. Dowieść, że pozostałe trzy punkty przecięcia okręgów leżą na okręgu o tymże promieniu.

XVIII OM - I - Zadanie 10

Trójka liczb całkowitych tworzy postęp geometryczny o ilorazie całkowitym. Gdy najmniejszą z nich zwiększymy o 9, powstanie postęp arytmetyczny. Jakie to liczby?

XVIII OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że jeżeli liczby $\alpha^2$ , $\beta^2$ , $\alpha\beta$ są wymierne, to istnieją takie liczby wymierne $k$ , $a$ i $b$ , że

$ \alpha^2 = ka^2,\quad \beta^2 = kb^2,\quad \alpha\beta = kab. $

XVIII OM - I - Zadanie 8

Dana jest kula $k$ , okrąg $c$ leżący na jej powierzchni oraz taki punkt $S$ nie leżący na tej powierzchni, że każda prosta przechodząca przez $S$ i przez jakiś punkt $M$ okręgu $c$ przecina powierzchnię kuli $k$ jeszcze w pewnym punkcie $N$ różnym od $M$ . Udowodnić, że zbiór $Z$ wszystkich punktów $N$ tworzy okrąg.

XVIII OM - I - Zadanie 7

Na płaszczyźnie leży $2n$ punktów. Dowieść, że istnieje prosta nie przechodząca przez żaden z tych punktów i dzieląca płaszczyznę na półpłaszczyzny, z których każda zawiera $n$ spośród danych punktów. Sformułować i udowodnić analogiczne twierdzenie dla przestrzeni.