1965-1966

XVII OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli dwa wielomiany stopnia trzeciego o współczynnikach całkowitych mają wspólny pierwiastek niewymierny, to mają jeszcze drugi wspólny pierwiastek.

XVII OM - I - Zadanie 12

Udowodnić twierdzenie: Jeżeli suma kątów płaskich przy wierzchołku ostrosłupa prawidłowego jest równa $ 180^{\circ} $, to w tym ostrosłupie środek kuli opisanej pokrywa się ze środkiem kuli wpisanej.

XVII OM - I - Zadanie 11

Dowieść, że środki kół dopisanych trójkąta i punkty symetryczne do środka koła wpisanego w ten trójkąt względem jego wierzchołków leżą na jednym okręgu.

XVII OM - I - Zadanie 10

Zadanie 10.
Dowieść, że jeżeli liczby rzeczywiste $ a, b, c $ spełniają, nierówności

\[<br /> (1) \quad a+b+c>0 \quad \text{ i } \quad (2) \quad abc>0,<br /> \]

to dla każdego naturalnego $ n $ zachodzi nierówność

\[<br /> (3) \qquad a^n + b^n + c^n > 0.<br /> \]

XVII OM - I - Zadanie 8

W przestrzeni dane są trzy proste. Znaleźć prostą przecinającą je w takich punktach $ A, B, C $, że $ \frac{AB}{BC} $ równa się danej liczbie dodatniej $ k $.

XVII OM - I - Zadanie 7

W dany trójkąt wpisano dwa trójkąty w taki sposób, że wierzchołki jednego z nich są symetryczne do wierzchołków drugiego względem środków boków danego trójkąta. Udowodnić, że pola tych trójkątów są równe.

XVII OM - I - Zadanie 6

Udowodnić twierdzenie: Jeżeli współczynniki $ a, b, c, d $ równania stopnia trzeciego $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $ są liczbami całkowitymi, przy czym liczba $ ad $ jest nieparzysta, a liczba $ bc $ - parzysta, to równanie nie może mieć trzech pierwiastków wymiernych.

XVII OM - I - Zadanie 5

Dane są liczby dodatnie $ p $ i $ q $. Dowieść, że prostopadłościan, w którym suma krawędzi równa się $ 4p $, a pole powierzchni równa się $ 2q $, istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy $ p^2 \geq 3q $.

Subskrybuje zawartość