1963-1964

XV OM - II - Zadanie 2

Okrąg podzielono na cztery, nie zachodzące na siebie, luki $ AB $, $ BC $, $ CD $ i $ DA $. Dowieść, że odcinek, który łączy środki łuków $ AB $ i $ CD $ jest prostopadły do odcinka łączącego środki łuków $ BC $ i $ DA $.

XV OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli $ n $ jest liczba naturalną, a kąt $ \alpha $ nie jest wielokrotnością $ \frac{180^{\circ}}{2^n} $, to

\[<br /> (1) \qquad \frac{1}{\sin 2\alpha} + \frac{1}{\sin 4\alpha} + \frac{1}{\sin 8\alpha} + \ldots + = \ctg \alpha - \ctg 2^n \alpha.<br /> \]

XV OM - I - Zadanie 12

Czworościan $ ABCD $ rozcięto na dwie części płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek $ D $, przez punkt $ M $ krawędzi $ AB $ i przez punkt $ N $ krawędzi $ BC $. Dowieść, że pole trójkąta $ DMN $ jest mniejsze pola któregoś z trójkątów $ DAB $, $ DBC $, $ DCA $.

XV OM - I - Zadanie 11

W trójkącie $ ABC $ kąt $ A $ wynosi $ 20^\circ $, $ AB = AC $. Na bokach $ AB $ i $ AC $ obrano takie punkty $ D $ i $ E $, że $ \measuredangle DCB = 60^\circ $ a $ \measuredangle EBC = 50^\circ $. Obliczyć kąt $ EDC $.

XV OM - I - Zadanie 10

Znaleźć $ n $-ty wyraz ciągu liczb $ a_1, a_2, a_n, \ldots $, w którym $ a_1 = 1 $, $ a_2 = 3 $, $ a_3 = 6 $ oraz dla każdego naturalnego $ k $

\[<br /> (1) \qquad a_{k-3}-3a_{k-2}+3a_{k-1}-a_k=0.<br /> \]

XV OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że iloraz sumy wszystkich dzielników naturalnych liczby calkowitej $ n > 1 $ przez liczbę tych dzielników jest większy od $ \sqrt{n} $.

XV OM - I - Zadanie 8

Na trzech parami skośnych krawędziach sześcianu obrać po jednym punkcie w taki sposób, żeby suma kwadratów boków utworzonego przez nie trójkąta była najmniejsza.

XV OM - I - Zadanie 7

Dany jest okrąg i wewnątrz niego punkty $ A $ i $ B $. Znaleźć na tym okręgu taki punkt $ P $, żeby kąt $ APB $ był oparty na cięciwie $ MN $ równej $ AB $. Czy zadanie posiada rozwiązanie, jeżeli dane punkty, lub tylko jeden z nich, leżą na zewnątrz okręgu?

XV OM - I - Zadanie 5

Dowieść następujących twierdzeń, w których, $ m $ i $ n $ oznaczają liczby naturalne.
1. Jeżeli $ m > 1 $, a $ m^n-1 $ jest liczbą pierwszą, to $ n $ jest potęgą liczby 2 o wykładniku całkowitym.
2. Jeżeli $ n > 1 $, a $ m^n- 1 $ jest liczbą pierwszą, to $ m = 2 $, a $ n $ jest liczbą pierwszą.

Subskrybuje zawartość