1962-1963

XIV OM - II - Zadanie 2

Na płaszczyźnie dany jest czworokąt $ ABCD $ i punkt $ M $. Zbudować równoległobok o środku $ M $ i o wierzchołkach leżących na prostych $ AB $, $ BC $, $ CD $, $ DA $.

XIV OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli liczby $ p $, $ q $, $ r $ spełniają równości

\[<br /> (1) \qquad p+q + r=1<br /> \]
\[<br /> (2) \qquad \frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} = 0<br /> \]

to dla dowolnych liczb $ a $, $ b $, $ c $ zachodzi równość

\[<br /> (3) \qquad a^2 + b^2 + c^2 = (pa + qb + rc)^2 + (qa + rb + pc)^2 + (ra + pb + qc)^2.<br /> \]

XIV OM - I - Zadanie 12

W okrąg o środku $ O $ i promieniu $ r $ wpisano pięciokąt foremny $ A_1A_2A_3A_4A_5 $ i na mniejszym z łuków o końcach $ A_1 $, $ A_5 $ obrano punkt $ M $. Dowieść, że

\[<br /> (1) \qquad MA_1 + MA_3 + MA_5 = MA_2 + MA_4.<br /> \]

XIV OM - I - Zadanie 11

Wewnątrz czworościanu $ ABCD $ obrano punkt $ S $. Proste $ AS $, $ BS $, $ CS $, $ DS $ przecinają przeciwległe ściany czworościanu w punktach $ A' $, $ B' $, $ C' $, $ D' $. Dowieść, że

\[<br /> \frac{SA'}{AA'} + \frac{SB'}{BB'} + \frac{SC'}{CC'} + \frac{SD'}{DD'} = 1.<br /> \]

XIV OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że jeżeli dwa nieidentyczne wielomiany stopnia trzeciego

\[<br /> (1) \qquad P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \textrm{ i } Q(x) = x^3 + a_1x^2 + b_1x+c_1<br /> \]

mają wspólny czynnik stopnia drugiego, to

\[<br /> (2) \qquad a \ne a_1<br /> \]
\[<br /> (3) \qquad (ac_1 - a_1c) (a - a_1) + (b - b_1) (c - c_1) = 0<br /> \]
\[<br /> (4) \qquad (bc_1 - b_1c) (a - a_1) + (c - c_1)^2 = 0.<br /> \]

XIV OM - I - Zadanie 8

Dane są dwa wielokąty podobne, ale nierówne; boki odpowiednie tych wielokątów leżą na prostych równoległych, których odległość jest dla wszystkich par boków ta sama. Czy muszą to być wielokąty foremne o wspólnym środku?

XIV OM - I - Zadanie 7

Dany trójkąt $ ABC $ podzielić prostą równoległą do danej prostej $ p $ na dwie części o równych polach.

Subskrybuje zawartość