1961-1962

XIII OM - II - Zadanie 2

Jakie warunki powinny spełniać liczby rzeczywiste $ a $, $ b $, $ c $, $ d $, $ e $, $ f $, żeby wielomian stopnia drugiego

\[<br /> (1) \qquad ax^2 + 2bxy + cy^2 + 2dx + 2ey + f<br /> \]

był iloczynem dwóch wielomianów stopnia pierwszego o współczynnikach rzeczywistych ?

XIII OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli liczby $ x $, $ y $, $ z $ spełniają równanie

\[<br /> (1) \qquad x + y + z = a,<br /> \]
\[<br /> (2) \qquad \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{a},<br /> \]

to co najmniej jedna z nich jest równa $ a $.

XIII OM - I - Zadanie 12

Z punktu $ A $ okręgu $ k $ poprowadzono odcinek $ AB $ prostopadły do płaszczyzny okręgu. Znaleźć miejsce geometryczne rzutu prostokątnego punktu $ A $ na prostą przechodzącą przez punkt $ B $ i przez punkt $ M $ poruszający się po okręgu $ k $.

XIII OM - I - Zadanie 11

Dany jest czworokąt $ ABCD $, którego przekątne przecinają się pod kątem prostym w punkcie $ M $. Udowodnić, że $ 8 $ punktów, w których prostopadle poprowadzone z punktu $ M $ do prostych $ AB $, $ BC $, $ CD $ i $ DA $ przecinają boki czworokąta, leży na okręgu.

XIII OM - I - Zadanie 8

Dany jest czworokąt skośny $ ABCD $ i płaszczyzna przecinająca proste $ AB $, $ BC $, $ CD $, $ DA $ odpowiednio w punktach $ M $, $ N $, $ P $, $ Q $ różnych od $ A $, $ B $, $ C $, $ D $. Dowieść, że

\[<br /> \frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CP}{PD} \cdot \frac{DQ}{QA} = 1.<br /> \]

XIII OM - I - Zadanie 7

Dane są na płaszczyźnie odcinki $ AB $ i $ CD $. Znaleźć na tejże płaszczyźnie taki punkt $ M $, żeby trójkąty $ AMB $ i $ CMD $ były podobne, a przy tym kąt $ AMB $ był równy kątowi $ CMD $.

XIII OM - I - Zadanie 6

Rozłożyć na czynniki rzeczywiste trójmian

\[<br /> x^4 + px^2 + q,<br /> \]

gdzie $ p $ i $ q $ są liczbami rzeczywistymi spełniającymi nierówność

\[<br /> p^2 - 4q < 0.<br /> \]

XIII OM - I - Zadanie 5

Dowieść, że wszystkie potęgi liczby, której ośmioma cyframi końcowymi są $ 12890625 $, mają też na końcu cyfry $ 12890625 $.

Subskrybuje zawartość