1960-1961

XII OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że wszystkie wysokości czworościanu przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy sumy kwadratów krawędzi przeciwległych są równe.

XII OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że żadna liczba postaci $2^n$ , gdzie $n$ jest liczbą naturalną, nie jest sumą dwóch lub więcej kolejnych liczb naturalnych.

XII OM - I - Zadanie 12

Udowodnić, że jeżeli wszystkie ściany czworościanu są trójkątami przystającymi, to te trójkąty są ostrokątne.

Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$ ( $AB = AC$ ). Zbudować taki trójkąt równoramienny $A_1B_1C_1$ ( $A_1B_1 = A_1C_1$ ), żeby trójkąty $AB_1C_1$ , $A_1BC_1$ i $A_1B_1C$ były: a) położone na zewnątrz trójkąta $A_1B_1C_1$ , b) równoramienne o podstawach $B_1C_1$ $C_1A_1$ i $A_1B_1$ c) podobne do trójkąta $A_1B_1C_1$ .

XII OM - I - Zadanie 10

Dowieść, że jeżeli równanie

$ (1) \qquad ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $

ma trzy pierwiastki rzeczywiste, to

$ (2) \qquad b^2 \geq ac \quad \textrm{i} \quad c^2 \geq bd. $

Czy prawdziwe jest twierdzenie odwrotne?

XII OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że gdy $n$ jest liczbą naturalną, to liczba

$ 2^{4^n} + 5 $

jest podzielna przez $21$ .

XII OM - I - Zadanie 8

W okrąg wpisano dwa trójkąty foremne. Wierzchołki $A$ , $B$ , $C$ jednego trójkąta następują po sobie na okręgu w tym samym kierunku, co wierzchołki $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ drugiego trójkąta. Proste $AB$ i $A_1B_1$ przecinają się w punkcie $P$ , proste $BC$ i $B_1C_1$ w punkcie $M$ , a proste $CA$ i $C_1A_1$ w punkcie $N$ . Dowieść, że punkty $M$ , $N$ , $P$ są wierzchołkami trójkąta foremnego.

XII OM - I - Zadanie 7

Dany jest wypukły wycinek kołowy $AOB$ (O - środek koła). Poprowadzić taką styczną do łuku $AB$ , żeby jej odcinek zawarty w kącie $AOB$ był podzielony punktem styczności w stosunku $1 : 3$ .