1959-1960

XI OM - II - Zadanie 2

Dane są równania

$ \begin{array}{c} x^2 + p_1x + q_1 = 0\\ x^2 + p_2x + q_2 = 0\\ x^2 + p_3x + q_3 = 0, \end{array} $

z których każde dwa mają wspólny pierwiastek, ale wszystkie trzy nie mają wspólnego pierwiastka. Dowieść, że

$ (1^\circ) \qquad 2 (p_1p_2 + p_2p_3 + p_3p_1) - (p_1^2 + p_2^2 + p_3^2) = 4 (q_1 + q_2+ q_3) $

$ (2^\circ) \qquad \textrm{pierwiastki tych równań są wymierne, gdy liczby $p_1$, $p_2$ i $p_3$ są wymierne}. $

XI OM - II - Zadanie 1

Udowodnić, że jeżeli liczby rzeczywiste $a$ i $b$ nie są obie równe zeru, to dla każdego naturalnego $n$

$ (1) \qquad a^{2n} + a^{2n-1}b + a^{2n-2} b^2 + \ldots + ab^{2n-1} + b^{2n} > 0. $

Niech dla czworościanu $ABCD$ litery $S_A$ , $S_B$ , $S_C$ , $S_D$ oznaczają pola ścian czworościanu przeciwległych odpowiednio do wierzchołków $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , a $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ kąty dwuścienne czworościanu przy krawędziach $AD$ , $BD$ i $CD$ . Udowodnić, że

$ S^2_D = S^2_A + S^2_B + S^2_C - 2S_A S_B \cos \gamma - 2S_BS_C \cos \alpha - 2S_AS_C \cos \beta. $

XI OM - I - Zadanie 11

Dowieść, że jeżeli czworokąt jest opisany na kole, to można na nim opisać koło wtedy i tylko wtedy gdy cięciwy łączące punkty styczności przeciwległych boków czworokąta z kołem są prostopadłe.

XI OM - I - Zadanie 10

Znaleźć wzór wyrażający iloczyn

$ \left( 1 - \frac{4}{1} \right) \left( 1 - \frac{4}{9} \right) \left( 1 - \frac{4}{25} \right) \ldots \left( 1 - \frac{4}{(2n-1)^2} \right) $

w zależności od $n$ .

XI OM - I - Zadanie 9

a) Znaleźć warunek konieczny i dostateczny do tego, aby równania kwadratowe

$ x^2 + p_1x + q_1 = 0 $

$ x^2 + p_2x + q_2 = 0 $

miały wspólny pierwiastek.

b) Dowieść, że jeżeli te równania mają wspólny pierwiastek, ale nie są identyczne, a liczby $p_1$ , $q_1$ , $p_2$ , $q_2$ są wymierne, to pierwiastki danych równań są wymierne.

XI OM - I - Zadanie 8

Na płaszczyźnie dane są trzy półproste $OX$ , $OY$ , $OZ$ , dzielące płaszczyznę na trzy kąty wypukłe oraz punkty $A$ , $B$ , $C$ leżące odpowiednio wewnątrz kątów $YOZ$ , $ZOX$ , $XOY$ . Zbudować trójkąt, którego wierzchołki leżą na $OX$ , $OY$ , $OZ$ , a boki przechodzą przez $A$ , $B$ , $C$ .

XI OM - I - Zadanie 7

W dany okrąg wpisano trójkąt $ABC$ . Na bokach $AC$ i $BC$ odmierzono odcinki $AM$ i $BN$ o danej długości $d$ . Znaleźć miejsce geometryczne środka $S$ odcinka $MN$ , gdy punkty $A$ i $B$ są nieruchome, a punkt $C$ porusza się po danym kręgu.