1957-1958

IX OM - II - Zadanie 2

Sześć równych krążków położono na płaszczyźnie w ten sposób, że ich środki leżą w wierzchołkach sześciokąta foremnego o boku równym średnicy krążków. Ile obrotów wykona siódmy krążek tej samej wielkości toczący się w tej samej płaszczyźnie zewnętrznie po krążkach do chwili powrotu do położenia początkowego?

IX OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli $ a $ jest liczbą całkowitą różną od $ 1 $ i od $ - 1 $, to $ a^4 + 4 $ nie jest liczbą pierwszą.

IX OM - I - Zadanie 12

Dany jest okrąg o promieniu $ r $ i półproste $ AB $ i $ AC $ styczne do tego okręgu w punktach $ B $ i $ C $. Wyznaczyć taką styczną do danego okręgu, której odcinek zawarty w kącie $ BAC $ jest najkrótszy.

IX OM - I - Zadanie 11

Dowieść, że jeżeli dwa czworokąty mają te same środki boków, to mają równe pola. Wykazać słuszność analogicznego twierdzenia dla wielokątów wypukłych o dowolnej parzystej liczbie boków.

IX OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że zachodzi nierówność

\[<br /> (1) \qquad<br /> \frac{1}{a + b + c} + \frac{1}{a + b + d} + \frac{1}{a + c + d}+ \frac{1}{b + c + d} \geq \frac{16}{3(a + b + c + d)},<br /> \]

gdzie $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ oznaczają liczby dodatnie.

IX OM - I - Zadanie 8

Jaką figurą płaską jest przekrój sześcianu o krawędzi $ a $ płaszczyzną przechodzącą przez środki trzech krawędzi parami skośnych?

IX OM - I - Zadanie 7

Dowieść, że jeżeli figura płaska o rozmiarach skończonych ma środek symetrii $ O $ i oś symetrii $ s $, to punkt $ O $ leży na prostej $ s $.

IX OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli liczby $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ spełniają warunki

\[<br /> ac - bd \ne 0 \textrm{ i } (a^2 - b^2) (c^2 - d^2) < 0,<br /> \]

to funkcja

\[<br /> (1) \qquad y = \frac{(ax + b) (cx + d)}{(bx + a) (dx + c)}<br /> \]

przybiera wszystkie wartości rzeczywiste.

Subskrybuje zawartość