1955-1956

VII OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli $H$ jest punktem przecięcia wysokości trójkąta nieprostokątnego $ABC$ , to okręgi opisane na trójkątach $AHB$ , $BHC$ , $CHA$ i $ABC$ są równe.

VII OM - II - Zadanie 1

Dla jakiej wartości $m$ wielomian $x^3 + y^3 + z^3 + mxyz$ jest podzielny przez $x + y + z$ ?

Dowieść, że: a) suma odległości dowolnego punktu $M$ trójkąta równobocznego od trzech boków trójkąta jest stała, tzn. nie zależy od położenia punktu $M$ w trójkącie; b) suma odległości dowolnego punktu czworościanu foremnego od czterech ścian czworościanu jest stała.

VII OM - I - Zadanie 11

W trójkącie o bokach $a$ , $b$ , $c$ poprowadzono odcinki $m$ , $n$ , $p$ styczne do koła wpisanego w trójkąt, mające końce na bokach trójkąta i równoległe odpowiednio do boków $a$ , $b$ , $c$ . Wykazać, że

$ \frac{m}{a} + \frac{n}{b} + \frac{p}{c} = 1. $

VII OM - I - Zadanie 10

Dowieść, że jeżeli $\alpha > 0$ , $\beta > 0$ , $\gamma > 0$ i $\alpha + \beta + \gamma = \frac{1}{2} \pi$ , to

$ (1) \qquad \tg \alpha \cdot \tg \beta + \tg \beta \cdot \tg \gamma + \tg \gamma \cdot \tg \alpha = 1. $

VII OM - I - Zadanie 9

Dowieść, ze z odcinków o długościach $a$ , $b$ , $c$ można zbudować trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy

$ (1) \qquad a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 > \frac{1}{2} (a^4 + b^4 + c^4). $

VII OM - I - Zadanie 8

Dany jest trójkąt ostrokątny $ABC$ i wewnątrz jednego z jego boków punkt $M$ . Zbudować trójkąt o najmniejszym obwodzie, którego jednym wierzchołkiem jest punkt $M$ , a dwa inne leżą na dwóch pozostałych bokach trójkąta.