1952-1953

IV OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że równanie

$ (1) \qquad (x - a) (x - c) + 2 (x - b) (x - d) = 0, $

w którym $a < b < c < d$ , ma dwa pierwiastki rzeczywiste.

$ \begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 2 + 3 + 4 & = & 1 + 8 \\ 5 + 6 + 7 + 8 + 9 & = & 8 + 27\\ 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 & = & 27 + 64\\ & \ldots & \end{array} $

Napisać taki wzór na $n$ -ty wiersz tablicy, który by przy podstawieniach $n = 1, 2, 3, 4$ dawał powyższe cztery wiersze tablicy i był prawdziwy dla każdego naturalnego $n$ .

IV OM - I - Zadanie 12

Dana jest prosta $p$ oraz punkty $A$ i $B$ leżące po przeciwnych stronach tej prostej. Poprowadzić przez punkty $A$ i $B$ taki okrąg, żeby jego cięciwa położona na prostej $p$ była jak najkrótsza.

IV OM - I - Zadanie 11

Dowieść, że jeżeli $A + B + C$ lub $A + B - C$ lub $A - B + C$ lub $A - B - C$ równa się nieparzystej ilości kątów półpełnych, to $\cos^2A + \cos^2B + \cos^2C + 2 \cos A \cos B \cos C = 1$ i że prawdziwe jest twierdzenie odwrotne.

IV OM - I - Zadanie 10

Dane są dwie proste skośne $m$ i $n$ . Na prostej $m$ odmierzono odcinek $AB$ o danej długości $a$ , a na prostej $n$ odmierzono odcinek $CD$ o danej długości $b$ . Dowieść, że objętość czworościanu $ABCD$ nie zależy od położenia odcinków $AB$ i $CD$ na prostych $m$ i $n$ .

IV OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że jeżeli $a < b < c < d$ , to

$ (1) \qquad (a + b + c + d)^2 > 8 (ac + bd). $

IV OM - I - Zadanie 8

Przez punkt $M$ dany na przedłużeniu boku $AB$ trójkąta $ABC$ poprowadzić prostą przecinającą boki $AC$ i $BC$ w punktach $N$ i $P$ w taki sposób, żeby odcinki $AN$ i $BP$ były równe.

IV OM - I - Zadanie 7

Dowieść, że gdy $n$ jest liczbą całkowitą wiekszą od $2$ , to

$ 2^{\frac{1}{2}n(n-1)} > n!. $

IV OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli figura płaska ma dwie i tylko dwie osie symetrii, to te osie są prostopadłe.

IV OM - I - Zadanie 5

W trapezie $ABCD$ przez punkt przecięcia $S$ przekątnych poprowadzono prostą równoległą da podstaw $AB$ i $DC$ trapezu, która przecina boki $AD$ i $BC$ w punktach $M$ i $N$ . Dowieść, że 1) $MN$ równa się średniej harmonicznej podstaw, 2) jeżeli $\measuredangle ADC = \measuredangle ACB$ , to $AC$ równa się średniej geometrycznej podstaw.

Olimpiady Matematyczne