1949-1950

I OM - B - Zadanie 14

Dowieść, że suma liczb naturalnych wtedy i tylko wtedy jest podzielna przez 9, gdy suma wszystkich cyfr tych liczb jest podzielna przez 9.

I OM - B - Zadanie 13

Dowieść, że jeżeli prawdziwa jest równość

\[<br /> (a^2+ b^2+ c^2) \cdots (x^2+ y^2 + z^2) = (ax + by + cz)^2,<br /> \]

to liczby $ x, y, z $ są proporcjonalne do liczb $ a, b, c $.

I OM - B - Zadanie 12

Ile boków ma wielokąt, którego każdy kąt jest $ k $ razy większy od kąta przyległego ? Jakie wartości może przybierać $ k $ ?

I OM - B - Zadanie 11

Słup pionowy o wysokości $ a $, oświetlony promieniami
słonecznymi, rzucił na płaszczyznę; poziomą w pewnym momencie
cień, długości $ a $, w innym momencie cień miał długość $ 2 a $, w trzecim
momencie długość cienia wynosila $ 3 a $. Wykazać, że suma kątów
nachylenia promieni słonecznych do płaszczyzny poziomej w tych
trzech momentach jest równa kątowi prostemu.

I OM - B - Zadanie 9

Dowieść, że jeżeli suma trzech liczb naturalnych jest podzielna przez 3, to suma sześcianów tych liczb jest
także podzielna przez 3.

I OM - B - Zadanie 8

Dowieść, że wysokości trójkąta ostrokątnego są dwusiecznymi kątów trójkąta, którego wierzchołkami są spodki tych wysokości.

I OM - B - Zadanie 7

Na płaszczyźnie dane są dwie przecinające się proste
$ a $ i $ b $ i nie leżący na nich punkt $ P $. Poprowadzić przez punkt $ P $
prostą przecinającą proste $ a $ i $ b $ w tahich punktach $ A $ i $ B $, że

\[<br /> PA = 2\cdot PB<br /> \]

I OM - B - Zadanie 6

Dowieść, że liczba, która w dziesiątkowym układzie
pozycyjnym wyraża się za pomocą 91 jedynek, jest liczbą złożoną.

I OM - B - Zadanie 5

Motorówka wyruszyła o godzinie 9 w górę rzeki i w tym
samym momencie wrzucono z motorówki do rzeki piłkę. O godzinie 9
minut 15 motorówka zawróciła i popłynęła w dół rzeki. O której
godzinie motorówka dogoni piłkę?

Subskrybuje zawartość