1980-1989

XXXV OM - III - Zadanie 2

Dla ustalonej liczby naturalnej $n$ oraz każdego $i = 1, 2, \ldots, n$ , $j = 1, 2, \ldots$ określamy

$ a_{j,i} = \begin{cases} 1 &\text{ dla }j=i \\ 0 &\text{ dla }j\neq i \end{cases} $

natomiast dla $i = n + 1,\ldots, 2n$ $j = 1,2,\ldots, n$

$ a_{j,i} = -\frac{1}{n}. $

Udowodnić, że dla każdej permutacji $p$ zbioru $\{1, 2,\ldots, 2n\}$ spełniona jest nierówność

$ \sum_{j=1}^n \left| \sum_{k=1}^n a_{j, p(k)}\right| \geq \frac{n}{2}. $

Wyznaczyć liczbę takich funkcji $f$ odwzorowujących zbiór $n$ -elementowy w ten sam zbiór, że $f^{n-1}$ jest funkcją stałą, zaś $f^{n-2}$ nie jest funkcją stałą, gdzie $f^k = f\circ f \circ \ldots \circ f$ , $n$ jest ustaloną liczbą naturalną większą od 2.

XXXV OM - II - Zadanie 6

Ciąg $(x_n)$ określony jest wzorami

$ x_1=c,\; x_{n+1} = cx_n + \sqrt{(c^2-1)(x_n^2-1)} \quad\text{ dla }\quad n=1,2,\ldots $

Dowieść, że jeśli $c$ jest liczbą naturalną, to wszystkie liczby $x_n$ są naturalne.

XXXV OM - II - Zadanie 5

Obliczyć kres dolny pól sześciokątów wypukłych, których wszystkie wierzchołki mają współrzędne całkowite.

XXXV OM - II - Zadanie 4

W zawodach Olimpiady Matematycznej bierze udział $3n$ uczestników. Mają oni wyznaczone miejsca w trzech rzędach, po $n$ miejsc w każdym i są wpuszczani na salę pojedynczo, po czym natychmiast zajmują swoje miejsca. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że aż do momentu zajęcia miejsca przez ostatniego zawodnika, w każdej chwili dla każdych dwóch rzędów różnica liczb siedzących w nich zawodników jest nie większa od 1.

XXXV OM - II - Zadanie 3

Dane są ciągi $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ , $(y_1, y_2, \ldots, y_n)$ o wyrazach dodatnich. Udowodnić, że istnieje taka permutacja $p$ zbioru $\{1, 2, \ldots, n\}$ , że dla każdego rzeczywistego $t$ ciąg

$ (x_{p(1)}+ty_{p(1)}, x_{p(2)}+ty_{p(2)}, \ldots, x_{p(n)}+ty_{p(n)}) $

ma następującą własność: istnieje taka liczba $k$ , że $1 \leq k \leq n$ oraz wszystkie niezerowe wyrazy ciągu o wskaźnikach mniejszych od $k$ są jednakowego znaku i wszystkie niezerowe wyrazy ciągu o wskaźnikach nie mniejszych od $k$ są jednakowego znaku.

XXXV OM - II - Zadanie 2

Na bokach trójkąta $ABC$ budujemy podobne trójkąty równoramienne: trójkąt $APB$ na zewnątrz trójkąta $ABC$ ( $AP = PB$ ), trójkąt $CQA$ na zewnątrz trójkąta $ABC$ ( $CQ = QA$ ), trójkąt $CRB$ do wewnątrz trójkąta $ABC$ ( $CR = RB$ ). Dowieść, że $APRQ$ jest równoległobokiem lub punkty $A, P, R, Q$ leżą na prostej.

XXXV OM - II - Zadanie 1

Dla danej liczby naturalnej $n$ znaleźć liczbę rozwiązań równania $\sqrt{x} + \sqrt{y} = n$ w liczbach naturalnych $x, y$ .

Rozwiązanie

Dla $n = 1$ dane równanie nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych. Dla $n > 1$ każda para liczb $x_1 = 1^2, y_1 = (n- 1)^2, x_2 = 2^2, y_2 = (n-2)^2, \ldots, x_{n-1} = (n - 1)^2, y_{n-1} = 1^2$ stanowi oczywiście rozwiązanie danego równania, gdyż $\sqrt{k^2} + \sqrt{(n - k)^2} = k+(n-k) = n$ dla $0 < k < n$ .

Wykażemy, że innych rozwiązań nie ma. Gdyby para liczb naturalnych $x$ , $y$ była rozwiązaniem danego równania, przy czym np. liczba $x$ nie byłaby kwadratem liczby naturalnej, to spełniona byłaby równość $y = (n -\sqrt{x})^2$ , skąd wynikałoby, że $y-n^2 - x = 2n\sqrt{x}$ . Po lewej stronie tej równości występuje liczba całkowita, zatem $2n \sqrt{x}$ również jest liczbą całkowitą. Zatem $\sqrt{x}$ jest liczbą wymierną, $\sqrt{x} = \frac{m}{n}$ . Wobec tego $x = \left( \frac{m}{n} \right)^2$ , $xn^2 = m^2$ . W rozkładzie liczb $n^2$ , $m^2$ na czynniki pierwsze każdy czynnik występuje w potędze o wykładniku parzystym. Wobec jednoznaczności rozkładu liczby naturalnej na czynniki pierwsze wynika stąd, że również w rozkładzie liczby $x$ każdy czynnik pierwszy występuje w potędze o wykładniku parzystym,

$ x = p_1^{2k_1} p_2^{2k_2} \ldots p_s^{2k_s} $

Zatem $x$ jest kwadratem liczby naturalnej wbrew założeniu. Podobnie stwierdzamy,że żadna para liczb naturalnych $(x, y)$ , w której $y$ nie jest kwadratem liczby naturalnej, nie jest rozwiązaniem danego równania.

Wobec tego dane równanie ma $n - 1$ rozwiązań w liczbach naturalnych.

Dodaj komentarz

XXXV OM - I - Zadanie 12

W kącie trójściennym $W$ zawarta jest półprosta $L$ przechodząca przez jego wierzchołek. Dowieść, że suma kątów utworzonych przez $L$ z krawędziami $W$ nie przekracza sumy kątów płaskich $W$ .

XXXV OM - I - Zadanie 11

Podać wzory wyraźne na $n$ -ty wyraz ciągów określonych wzorami rekurencyjnymi:

$ \begin{split} a_{n+1} &= 3a_n + b_n, \\ b_{n+1} &= -a_n + b_n, \\ a_1 = 14, &\; b_1 = -6. \end{split} $

Olimpiady Matematyczne