1970-1979

XXV OM - III - Zadanie 1

W czworościanie $ABCD$ krawędź $\overline{AB}$ jest prostopadła do krawędzi $\overline{CD}$ i $\measuredangle ACB = \measuredangle ADB$ . Udowodnić, że płaszczyzna wyznaczona przez krawędź $\overline{AB}$ i środek krawędzi $\overline{CD}$ jest prostopadła do krawędzi $\overline{CD}$ .

XXV OM - II - Zadanie 6

Dany jest ciąg liczb całkowitych $a_1, a_2, \ldots, a_{2n+1}$ o następującej własności: po odrzuceniu dowolnego wyrazu pozostałe można podzielić na takie dwie grupy po $n$ wyrazów, że suma wyrazów w pierwszej grupie równa jest sumie wyrazów w drugiej. Dowieść, że wszystkie wyrazy ciągu są równe.

XXV OM - II - Zadanie 5

Dane są liczby rzeczywiste $q,t \in \langle \frac{1}{2}; 1)$ , $t \in (0; 1 \rangle$ . Udowodnić, że istnieje taki rosnący ciąg liczb naturalnych ${n_k}$ ( $k = 1,2, \ldots$ ), że

$<br /> t = \lim_{N\to \infty} \sum_{j=1}^N q^{n_j}.<br />$

XXV OM - II - Zadanie 4

W czworokącie wypukłym $ABCD$ o polu $S$ każdy z boków podzielono na 3 równe części i poprowadzono odcinki łączące odpowiednie punkty podziału przeciwległych boków w ten sposób, że czworokąt został podzielony na 9 czworokątów. Dowieść, że suma pól następujących trzech czworokątów powstałych z podziału: zawierającego wierzchołek $A$ , środkowego i zawierającego wierzchołek $C$ równa jest $\frac{S}{3}$ .

XXV OM - II - Zadanie 3

Udowodnić, że rzuty prostokątne wierzchołka $D$ czworościanu $ABCD$ na płaszczyzny dwusieczne kątów dwuściennych wewnętrznych i zewnętrznych przy krawędziach $\overline{AB}$ , $\overline{BC}$ i $\overline{CA}$ należą do jednej płaszczyzny.

XXV OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że dla każdego $n = 2, 3, \ldots$ oraz dowolnych liczb rzeczywistych $t_1, t_2, \ldots, t_n$ , $s_1, s_2, \ldots, s_n$ , jeżeli

$<br /> \sum_{i=1}^n t_i = 0, \text{ to } \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n t_it_j |s_i-s_j| \leq 0.<br />$

XXV OM - II - Zadanie 1

Niech $Z$ będzie zbiorem $n$ -elementowym. Znaleźć liczbę takich par zbiorów $(A, B)$ , że $A$ zawiera się w $B$ i $B$ zawiera się w $Z$ . Przyjmujemy, że każdy zbiór zawiera także siebie i zbiór pusty.

XXV OM - III - Zadanie 3

Niech $r$ będzie liczbą naturalną. Dowieść, że trójmian $x^2 - rx - 1$ nie jest dzielnikiem żadnego wielomianu $p(x) \neq 0$ o współczynnikach całkowitych, mniejszych co do wartości bezwzględnej od $r$ .

XXV - I - Zadanie 12

Dowieść, że w dowolnym kącie trójściennym, w którym co najwyżej jeden kąt płaski jest prosty, trzy proste prostopadłe w wierzchołku kąta trójściennego do jego krawędzi i zawarte w płaszczyznach ścian przeciwległych do tych krawędzi są zawarte w jednej płaszczyźnie.

XXV - I - Zadanie 11

Niech $X_n$ i $Y_n$ bądą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie $\left{ \left(\frac{k}{2^n}, \frac{1}{2^n}\right) : k = 0, 1, \ldots, 2^n-1\right}$ . Oznaczmy przez $p_n$ prawdopodobieństwo zdarzenia, że istnieje liczba rzeczywista $t$ spełniająca równanie $t^2 + X_n \cdot t + Y_n = 0$ . Obliczyć $\lim_{n\to\infty} p_n$ .