1960-1969

XV OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli $a_1 < a_2 < \ldots < a_n$ i $b_1 < b_2 < \ldots < b_n$ , gdzie $n \geq 2$ , to

$ (1) \qquad (a_1 + a_2 + \ldots + a_n)(b_1 + b_2 + \ldots + b_n) < n(a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n). $

XV OM - III - Zadanie 1

Udowodnić, że nierówność

$ (1) \qquad \frac{1}{3} \leq \frac{\tan 3\alpha}{\tan \alpha} \leq 3 $

nie jest prawdziwa dla żadnej wartości $\alpha$ .

XV OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że spośród pięciu dowolnych punktów płaszczyzny można wybrać takie trzy punkty, które nie są wierzchołkami trójkąta ostrokątnego.

Dany jest kąt trójścienny o krawędziach $SA$ , $SB$ , $SC$ , którego wszystkie kąty płaskie są ostre, a kąt dwuścienny przy krawędzi $SA$ jest prosty. Dowieść, że przekrój tego trójścianu dowolną płaszczyzną prostopadłą do którejkolwiek krawędzi, w punkcie różnym od wierzchołka $S$ , jest trójkątem prostokątnym.

XV OM - II - Zadanie 4

Znaleźć liczby rzeczywiste $x, y, z$ spełniające układ równań

$ \begin{split} (z - x)(x - y) &= a \\ (x - y)(y - z) &= b \\ (y - z)(z - x) &= c \end{split} $

gdzie $a, b, c$ są danymi liczbami rzeczywistymi.

XV OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli trzy liczby pierwsze tworzą postęp arytmetyczny o różnicy niepodzielnej przez 6, to najmniejszą z tych liczb jest $3$ .

XV OM - II - Zadanie 2

Okrąg podzielono na cztery, nie zachodzące na siebie, luki $AB$ , $BC$ , $CD$ i $DA$ . Dowieść, że odcinek, który łączy środki łuków $AB$ i $CD$ jest prostopadły do odcinka łączącego środki łuków $BC$ i $DA$ .

XV OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli $n$ jest liczba naturalną, a kąt $\alpha$ nie jest wielokrotnością $\frac{180^{\circ}}{2^n}$ , to

$ (1) \qquad \frac{1}{\sin 2\alpha} + \frac{1}{\sin 4\alpha} + \frac{1}{\sin 8\alpha} + \ldots + = \ctg \alpha - \ctg 2^n \alpha. $

XV OM - I - Zadanie 12

Czworościan $ABCD$ rozcięto na dwie części płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek $D$ , przez punkt $M$ krawędzi $AB$ i przez punkt $N$ krawędzi $BC$ . Dowieść, że pole trójkąta $DMN$ jest mniejsze pola któregoś z trójkątów $DAB$ , $DBC$ , $DCA$ .

XV OM - I - Zadanie 11

W trójkącie $ABC$ kąt $A$ wynosi $20^\circ$ , $AB = AC$ . Na bokach $AB$ i $AC$ obrano takie punkty $D$ i $E$ , że $\measuredangle DCB = 60^\circ$ a $\measuredangle EBC = 50^\circ$ . Obliczyć kąt $EDC$ .