Ciągi

L MOM - Zadanie 3

Ściśle rosnący ciąg $s_1,s_2,s_3,\dots$ , którego wyrazy są dodatnimi liczbami całkowitymi, ma tę własność, że jego podciągi

$ s_{s_1},s_{s_2},s_{s_3},\dots\qquad\text{oraz}\qquad s_{s_1+1},s_{s_2+1},s_{s_3+1},\dots $

są ciągami arytmetycznymi. Dowieść, że ciąg $s_1,s_2,s_3,\dots$ również jest ciągiem arytmetycznym.

IX CPS - Zadanie 2

Niech $a,k$ będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Ciąg $(a_n)_{n=1}^\infty$ definiujemy następująco:

$ a_1=a\quad\text{oraz}\quad a_{n+1}=a_n+k\varrho(a_n),\quad\text{dla }n=1,2,\dots, $

gdzie $\varrho(m)$ oznacza iloczyn cyfr liczby $m$ w zapisie dziesiętnym (np. $\varrho(413)=12$ , $\varrho(308)=0$ ). Udowodnić, że istnieją takie liczby całkowite dodatnie $a$ i $k$ , że ciąg $(a_n)_{n=1}^\infty$ przyjmuje dokładnie 2009 różnych wartości.

XVIII ZMPB - Zadanie 2

Ciąg liczb całkowitych $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , $\ldots$ nazwiemy dokładnym, jeżeli

$ a_n^2-a_m^2=a_{n-m}a_{n+m} \qquad\hbox{dla }n\ge m. $

Wykazać, że istnieje ciąg dokładny, w którym $a_1=1$ , $a_2=0$ , i wyznaczyć $a_{2007}$ .

LVIII OM - III - Zadanie 6

Ciąg $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ jest określony przez warunki: $a_0=-1$ oraz

$ a_n+{a_{n-1}\over 2}+{a_{n-2}\over 3}+\ldots+{a_1\over n}+{a_0\over n+1}=0 \qquad\hbox{dla }n\ge 1. $

Wykazać, że $a_n>0$ dla $n\ge 1$ .

LVIII OM - I - Zadanie 4

Dla każdej liczby naturalnej $n\ge 3$ wyznaczyć liczbę ciągów $(c_1,c_2,\ldots,c_n)$ , gdzie ${c_i\in\{0,1,\ldots,9\}}$ , o następującej własności:\break w każdej trójce kolejnych wyrazów są co najmniej dwa wyrazy równe.

LIX OM - I -Zadanie 10

Dana jest liczba pierwsza p. Ciąg liczb całkowitych dodatnich $a_1, a_2, a_3, \dots$ spełnia warunek

$ (1) \qquad a_{n+1} = a_n +p\left[ \sqrt[p]{a_n} \right]\quad \text{dla } n =1, 2,3,\dots. $

Wykazać, że pewien wyraz tego ciągu jest $p$ -tą potęgą liczby całkowitej.
(Uwaga: Symbol $[x]$ oznacza największą liczbę całkowitą nie przekraczającą $x$ .)

LIX OM - I -Zadanie 3

Ciąg liczb całkowitych $a_1, a_2, a_3, \dots$ jest określony przez warunki: $a_1 = 1, a_2 = 2$ ,

$ (1)\qquad a_n =3a_n-1 +5a_{n-2} \quad\text{ dla }n =3,4,5,\dots . $

Rozstrzygnąć, czy istnieje taka liczba całkowita $k \geqslant 2$ , że liczba $a_k$ jest dzielnikiem
iloczynu $a_{k+1}a_{k+2}$ .

LX OM - III - Zadanie 6

Niech $n \geqslant$ 3 będzie liczbą naturalną. Ciąg liczb nieujemnych
$(c_0,c_1,\cdots ,c_n)$ spełnia warunek

$ (1) \qquad c_pc_s + c_rc_t = c_{p+r}c_{r+s} $

dla wszystkich $p, r, s, t \geqslant 0$ takich, że $p + r + s + t = n$ . Wyznaczyć wszystkie możliwe
wartości $c_2$ , jeśli $c_1 =1$ .

LX OM - II - Zadanie 6

Dla każdej liczby całkowitej $n \geqslant 3$ wyznaczyć wszystkie ciągi liczb rzeczywistych
$(x_1,x_2, \cdots ,x_n)$ , dla których

$ \sum_{i=1}^n x_i = n \quad \text{ oraz } \sum_{i=1}^n (x_{i-1} -x_i + x_{i+1})^2 = n, $

gdzie przyjmujemy $x_0 = x_n$ i $x_{n+1} = x_1$ .

LX OM - I - Zadanie 7

Ciąg liczb całkowitych $f_0, f_1, f_2, \cdots$ jest określony
przez warunki: $f_0 = 0, f_1 = 1$ ,

$ (1) \qquad f_n = f_{n-1} + f_{n-2} \text{ dla } n =2,3,4, \cdots. $

Znaleźć wszystkie wielomiany W o współczynnikach całkowitych,
mające następującą własność: Dla każdego $n =0, 1, 2, \cdots$
istnieje taka liczba całkowita $k$ , że $W(k)= f_n$ .

Olimpiady Matematyczne