Ciągi, Funkcje i ich własności, Kombinatoryka i logika, Liczby całkowite, Liczby rzeczywiste, Nierówności, Planimetria, Rachunek prawdopodobieństwa, Równania funkcyjne, Równania wielomianowe, Stereometria, Wielomiany

VI OM - II - Zadanie 4

Wewnątrz trójkąta $ABC$ dany jest punkt $P$ ; znaleźć na obwodzie tego trójkąta taki punkt $Q$ , żeby łamana $APQ$ dzieliła trójkąt na dwie części o równych polach.

VI OM - II - Zadanie 3

Jaki powinien być kąt przy wierzchołku trójkąta równoramiennego, żeby można było zbudować trójkąt o bokach równych wysokości, podstawie i jednemu z pozostałych boków tego trójkąta równoramiennego?

VI OM - II - Zadanie 2

Znaleźć liczbę naturalną $n$ wiedząc, że suma

$<br /> 1 + 2 + 3 + \ldots + n<br />$

jest liczbą trójcyfrową o jednakowych cyfrach.

VI OM - II - Zadanie 1

Obliczyć sumę $x^4 + y^4 + z^4$ wiedząc, że $x + y + z = 0$ i $x^2 + y^2 + z^2 = a$ , gdzie $a$ jest daną liczbą dodatnią.

VI OM - I - Zadanie 12

W jakiej części trójkąta równobocznego powinien leżeć punkt $P$ , aby z odcinków równych odległościom tego punktu od boków trójkąta można było zbudować trójkąt?

VI OM - I - Zadanie 11

Dowieść, że w trójkącie ostrokątnym suma odległości ortocentrum (tzn. punktu przecięcia wysokości) od wierzchołków jest dwa razy większa od sumy promieni kół opisanego i opisanego.

VI OM - I - Zadanie 10

Wykazać, że liczba $53^{53} - 33^{33}$ jest podzielna przez $10$ .

VI OM - I - Zadanie 9

Przedstawić wielomian $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ w postaci różnicy kwadratów dwóch wielomianów niejednakowego stopnia o współczynnikach rzeczywistych.

VI OM - I - Zadanie 8

Dowieść, że w trapez można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy okręgi, których średnicami są boki nierównoległe trapezu, są do siebie styczne zewnętrznie.

Na środkowej $CM$ trójkąta $ABC$ obrano punkt $N$ i poprowadzono prostą $AN$ przecinającą bok $BC$ w punkcie $Q$ oraz prostą $BN$ przecinającą bok $AC$ w punkcie $P$ . Dowieść, że prosta $PQ$ jest równoległa do prostej $AB$ .