Liczby całkowite

XXXIII OM - I - Zadanie 2

Niech $p$ będzie ustaloną liczbą pierwszą. Udowodnić, że liczba

$ \underbrace{11\ldots 1}\underbrace{22\ldots 2}\ldots \underbrace{99\ldots 9} - 123456789 $

dzieli się przez $p$ .

XXXIV OM - III - Zadanie 4

Udowodnić, że jeżeli liczby naturalne $a, b, c, d$ spełniają równość $ab = cd$ , to

$ \frac{\mathrm{NWD}(a, c)\cdot \mathrm{NWD}(a, d)}{\mathrm{NWD}(a, b, c, d)} = a. $

XXXIV OM - II - Zadanie 4

Niech $a(k)$ będzie największą liczbą nieparzystą, przez którą dzieli się $k$ . Udowodnić, że

$ \sum_{k=1}^{2^n} a(k) = \frac{1}{3}(4^n+2). $

Na płaszczyźnie z ustalonym układem współrzędnych dany jest wielokąt wypukły, którego wszystkie wierzchołki mają współrzędne całkowite. Dowieść, że podwojone pole tego wielokąta jest liczbą całkowitą.

XXXIV OM - I - Zadanie 9

Liczby naturalne $m, n$ spełniają warunek $\sqrt{7} - \frac{m}{n}$ . Wykazać, że $\sqrt{7} - \frac{m}{n} > \frac{1}{mn}$ .

XXXV OM - II - Zadanie 1

Dla danej liczby naturalnej $n$ znaleźć liczbę rozwiązań równania $\sqrt{x} + \sqrt{y} = n$ w liczbach naturalnych $x, y$ .

Rozwiązanie

Dla $n = 1$ dane równanie nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych. Dla $n > 1$ każda para liczb $x_1 = 1^2, y_1 = (n- 1)^2, x_2 = 2^2, y_2 = (n-2)^2, \ldots, x_{n-1} = (n - 1)^2, y_{n-1} = 1^2$ stanowi oczywiście rozwiązanie danego równania, gdyż $\sqrt{k^2} + \sqrt{(n - k)^2} = k+(n-k) = n$ dla $0 < k < n$ .

Wykażemy, że innych rozwiązań nie ma. Gdyby para liczb naturalnych $x$ , $y$ była rozwiązaniem danego równania, przy czym np. liczba $x$ nie byłaby kwadratem liczby naturalnej, to spełniona byłaby równość $y = (n -\sqrt{x})^2$ , skąd wynikałoby, że $y-n^2 - x = 2n\sqrt{x}$ . Po lewej stronie tej równości występuje liczba całkowita, zatem $2n \sqrt{x}$ również jest liczbą całkowitą. Zatem $\sqrt{x}$ jest liczbą wymierną, $\sqrt{x} = \frac{m}{n}$ . Wobec tego $x = \left( \frac{m}{n} \right)^2$ , $xn^2 = m^2$ . W rozkładzie liczb $n^2$ , $m^2$ na czynniki pierwsze każdy czynnik występuje w potędze o wykładniku parzystym. Wobec jednoznaczności rozkładu liczby naturalnej na czynniki pierwsze wynika stąd, że również w rozkładzie liczby $x$ każdy czynnik pierwszy występuje w potędze o wykładniku parzystym,

$ x = p_1^{2k_1} p_2^{2k_2} \ldots p_s^{2k_s} $

Zatem $x$ jest kwadratem liczby naturalnej wbrew założeniu. Podobnie stwierdzamy,że żadna para liczb naturalnych $(x, y)$ , w której $y$ nie jest kwadratem liczby naturalnej, nie jest rozwiązaniem danego równania.

Wobec tego dane równanie ma $n - 1$ rozwiązań w liczbach naturalnych.

Dodaj komentarz

XXXV OM - I - Zadanie 5

Udowodnić, że istnieje taka wielokrotność liczby $5^n$ , której zapis w układzie dziesiętnym składa się $n$ cyfr różnych od zera.

XXXVI OM - III - Zadanie 1

Wyznaczyć największą liczbę $k$ taką, że dla każdej liczby naturalnej $n$ istnieje co najmniej $k$ liczb naturalnych większych od $n$ , mniejszych od $n+17$ i względnie pierwszych z iloczynem $n(n+17)$ .

XXXVI OM - II - Zadanie 5

Udowodnić, że dla liczby naturalnej $n$ większej od 1 następujące warunki są równoważne:

a) $n$ jest liczbą parzystą,

b) istnieje permutacja $(a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{n-1})$ zbioru $\{0,1,2,\ldots,n—1\}$ o tej własności, że ciąg reszt z dzielenia przez $n$ liczb $a_0, a_0 + a_1, a_0 + a_1 + a_2, \ldots, a_0 + a_1 + a_2 +\ldots a_{n-1}$ jest też permutacją tego zbioru.