Liczby rzeczywiste

LV OM - II - Zadanie 1

Liczby dodatnie $a$ , $b$ , $c$ , $d$ spełniają układ równań

$ \left\{ \begin{array}{l} a^3 + b^3 + c^3 = 3d^3\\ b^4 + c^4 + d^4 = 3a^4\\ c^5 + d^5 + a^5 = 3b^5. \end{array} \right. $

Udowodnić, że $a = b = c = d$ .

LV OM - I - Zadanie 12

Dana jest liczba całkowita $n \geq 5$ . Wyznaczyć liczbę rozwiązań w liczbach rzeczywistych $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$ układu równań

$ x_{i-2}^{3}+x_{i-1}^{3}+x_{i}^{3}=x_{i}^{4}+x_{i+1}^{3}+x_{i+2}^{2}\ \textrm{dla}\ i=1,2,3, \ldots, n, $

gdzie $x_{-1}=x_{n-1},$ $x_{0}=x_{n},$ $x_{1}=x_{n+1},$ $x_{2}=x_{n+2}$ .

LVI OM - III - Zadanie 4

Dana jest liczba rzeczywista $c> -2$ . Dowieść, że jeżeli liczby $x_1, x_2,... ,x_n$ ( $n \geq 2$ ) są dodatnie oraz

$ \begin{array}{r} \sqrt{x_{1}^{2}+cx_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}+\sqrt{x_{2}^{2}+cx_{2}x_{3}+x_{3}^{2}}+\ldots+\sqrt{x_{n}^{2}+cx_{n}x_{1}+x_{1}^{2}}=\\ =\sqrt{c+2}(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}), \end{array} $

to $c =2$ lub $x_1 = x_2 = \ldots = x_n$ .

LVI OM - I - Zadanie 1

Rozwiązać w liczbach rzeczywistych $x$ , $y$ , $z$ układ równań

$ \left\{\begin{array}{l} x^{2}=yz+1\\ y^{2}=zx+2\\ z^{2}=xy+4 \end{array}\right. $

LVII OM - III - Zadanie 1

Rozwiązać w liczbach rzeczywistych $a, b, c, d, e$ układ równań

$ \begin{cases} a^2 &= b^3 + c^3 \\ b^2 &= c^3 + d^3 \\ c^2 &= d^3 + e^3 \\ d^2 &= e^3 + a^3 \\ e^2 &= a^3 + b^3 \\ \end{cases} $

LVII OM - I - Zadanie 2

Rozwiązać w liczbach rzeczywistych nieujemnych $x$ równanie

$ \sqrt[5]{x}=\left[\sqrt[5]{3x}\right] $

Uwaga: $[t]$ oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od $t$ .

I OM - B - Zadanie 13

Dowieść, że jeżeli prawdziwa jest równość

$ (a^2+ b^2+ c^2) \cdots (x^2+ y^2 + z^2) = (ax + by + cz)^2, $

to liczby $x, y, z$ są proporcjonalne do liczb $a, b, c$ .

III MEMO - Zadanie 6

Liczby rzeczywiste $a$ , $b$ , $c$ posiadają tę własność, że dla każdych dwóch spośród równań

$ x^2+ax+b=0,\quad x^2+bx+c=0,\quad x^2+cx+a=0 $

istnieje dokładnie jedna liczba rzeczywista będąca rozwiązaniem ich obu. Wyznaczyć wszystkie możliwe wartości wyrażenia $a^2+b^2+c^2$ .

I MEMO - Zadanie 5

Dodatnie liczby rzeczywiste $a$ , $b$ , $c$ , $d$ spełniają warunki

$ {1\over 2}\le a,b,c,d\le 2\qquad\hbox{oraz}\qquad abcd=1. $

Znaleźć największą możliwą wartość wyrażenia

$ \Bigl(a+{1\over b}\Bigr)\Bigl(b+{1\over c}\Bigr) \Bigl(c+{1\over d}\Bigr)\Bigl(d+{1\over a}\Bigr). $

LIX OM - I -Zadanie 9

Wyznaczyć najmniejszą liczbę rzeczywistą a o następującej własności:

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $x, y, z \geqslant a$ spełniających warunek $x +y + z = 3$
prawdziwa jest nierówność

$ x^3 + y^3 + z^3 \geqslant 3. $

Olimpiady Matematyczne