Nierówności

XLVII OM - II - Zadanie 3

Wykazać, że jeśli każda z liczb $a$ , $b$ , $c$ jest nie mniejsza od $-\frac{3}{4}$ oraz jeśli $a+b+c=1$ , to

$ \frac{a}{a^2+1} + \frac{b}{b^2+1} + \frac{c}{c^2+1} \leq \frac{9}{10}. $

XLVII OM - I - Zadanie 7

Liczby nieujemne $a$ , $b$ , $c$ , $p$ , $q$ , $r$ spełniają warunki:

$ a + b + c = p + q + r = 1; \quad p, q, r \leq \frac{1}{2}. $

Udowodnić, że $8abc \leq pa + qb + rc$ oraz rozstrzygnąć, kiedy zachodzi równość.

XLVIII OM - I - Zadanie 3

Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a, b \geq 1$ , $c\geq 0$ oraz dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ zachodzi nierówność

$ (ab + c)^n-c \leq ((b + c)^n-c)a^n. $

Dana jest liczba dodatnia $a$ . Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste $c$ mające następującą własność: dla każdej pary liczb dodatnich $x$ , $y$ spełniona jest nierówność $(c-1)x^{a+1} \leq (cy - x)y^a$ .

XLIX OM - II - Zadanie 5

Liczby nieujemne $a_1, a_2,\ldots, a_7$ , $b_1, b_2,\ldots, b_7$ spełniają warunek

$ a_i + b_i \leq 2 \quad \textrm{dla}\ i = 1, 2,\ldots, 7. $

Wykazać, że dla pewnych dwóch różnych liczb $k, m \in \{1, 2,\ldots, 7\}$ zachodzi nierówność $|a_k - a_m| + |b_k - b_m| \leq 1$ .

XLIX OM - II - Zadanie 3

(a) Liczby nieujemne $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ , których suma jest równa $1$ , spełniają zależność

$ ace +bdf \geq \frac{1}{108}. $

Udowodnić, że

$ abc + bcd + cde + def + ef a + f ab < \frac{1}{36} . $

(b) Rozstrzygnąć, czy istnieje sześć różnych liczb dodatnich $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ o sumie równej $1$ , dla których obie napisane wyżej nierówności stają się równościami.