Planimetria

XII OM - III - Zadanie 5

Cztery proste przecinające się w sześciu punktach tworzą cztery trójkąty. Dowieść, że okręgi opisane na tych trójkątach mają punkt wspólny.

XII OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli każdy bok trójkąta jest mniejszy niż $ 1 $, to jego pole jest mniejsze niż $ \frac{\sqrt{3}}{4} $.

XII OM - II - Zadanie 6

W płaszczyźnie trójkąta ostrokątnego $ ABC $ przesuwa się taśma o szerokości $ d < AB $ i brzegach prostopadłych do $ AB $. Przy jakim położeniu taśmy zakryje ona największą część trójkąta?

XII OM - I - Zadanie 11

Dany jest trójkąt równoramienny $ ABC $ ($ AB = AC $). Zbudować taki trójkąt równoramienny $ A_1B_1C_1 $ ($ A_1B_1 = A_1C_1 $), żeby trójkąty $ AB_1C_1 $, $ A_1BC_1 $ i $ A_1B_1C $ były: a) położone na zewnątrz trójkąta $ A_1B_1C_1 $, b) równoramienne o podstawach $ B_1C_1 $ $ C_1A_1 $ i $ A_1B_1 $ c) podobne do trójkąta $ A_1B_1C_1 $.

XII OM - I - Zadanie 8

W okrąg wpisano dwa trójkąty foremne. Wierzchołki $ A $, $ B $, $ C $ jednego trójkąta następują po sobie na okręgu w tym samym kierunku, co wierzchołki $ A_1 $, $ B_1 $, $ C_1 $ drugiego trójkąta. Proste $ AB $ i $ A_1B_1 $ przecinają się w punkcie $ P $, proste $ BC $ i $ B_1C_1 $ w punkcie $ M $, a proste $ CA $ i $ C_1A_1 $ w punkcie $ N $. Dowieść, że punkty $ M $, $ N $, $ P $ są wierzchołkami trójkąta foremnego.

XII OM - I - Zadanie 7

Dany jest wypukły wycinek kołowy $ AOB $ (O - środek koła). Poprowadzić taką styczną do łuku $ AB $, żeby jej odcinek zawarty w kącie $ AOB $ był podzielony punktem styczności w stosunku $ 1 : 3 $.

XII OM - I - Zadanie 3

Na płaszczyźnie dany jest okrąg $ K $ i punkt $ A $. Wykreślić taki okrąg $ L $ przechodzący przez punkt $ A $, żeby soczewka będąca wspólną częścią obu kół miała daną średnicę $ a $ i daną grubość $ b $.

XIII OM - III - Zadanie 3

Jaki warunek powinny spełniać kąty trójkąta $ ABC $, żeby dwusieczna kąta $ A $, środkowa poprowadzona z wierzchołka $ B $ i wysokość poprowadzona z wierzchołka $ C $ przecinały się w jednym punkcie ?

XIII OM - III - Zadanie 2

Wewnątrz danego czworokąta wypukłego znaleźć taki punkt, żeby odcinki łączące ten punkt ze środkami boków czworokąta dzieliły czworokąt na cztery części o równych polach.

XIII OM - II - Zadanie 5

Na płaszczyźnie dany jest kwadrat $ Q $ i punkt $ P $. Punkt $ K $ przebiega obwód kwadratu $ Q $. Znaleźć miejsce geometryczne wierzchołka $ M $ trójkąta równobocznego $ KPM $.

Subskrybuje zawartość