Stereometria

XXIX OM - III - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli w dowolnym czworościanie $ h_1, h_2, h_3, h_4 $ są długościami czterech wysokości, $ d_1, d_2, d_3 $ zaś odległościami trzech par prostych zawierających przeciwległe krawędzie, to

\[<br /> \frac{1}{h_1^2} + \frac{1}{h_2^2} + \frac{1}{h_3^2} + \frac{1}{h_4^2} =<br /> \frac{1}{d_1^2} + \frac{1}{d_2^2} + \frac{1}{d_3^2}<br /> \]

XXIX OM - II - Zadanie 5

Dowieść, że nie istnieje taka równia pochyła, że każdy czworościan dowolnie przyłożony pewną ścianą do równi nie przewróci się. Znaczy to, co następuje. Dana jest płaszczyzna $ \pi $ i prosta $ l $ nie prostopadła do niej. Dowieść, że istnieje taki czworościan $ T $, że dla każdej jego ściany $ S $ istnieje w płaszczyźnie $ \pi $ trójkąt $ ABC $ przystający do $ S $ oraz istnieje taki punkt $ D $, że czworościan $ ABCD $ przystaje do $ T $ i prosta równoległa do $ l $ przechodząca przez środek ciężkości czworościanu $ ABCD $ nie przecina trójkąta $ ABC $.
Uwaga. Środkiem ciężkości czworościanu nazywamy punkt przecięcia odcinków łączących środki ciężkości ścian tego czworościanu z przeciwległymi wierzchołkami (wiadomo, że punkt taki zawsze istnieje).

XXX OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że cztery proste łączące wierzchołki czworościanu ze środkami kół wpisanych w ściany przeciwległe tym wierzchołkom mają punkt wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy trzy iloczyny długości przeciwległych krawędzi czworościanu są równe.

XXX OM - II - Zadanie 3

W przestrzeni dana jest prosta $ k $ oraz sześcian o wierzchołku $ M $ i krawędziach $ \overline{MA} $, $ \overline{MB} $, $ \overline{MC} $, długości 1. Udowodnić, że długość rzutu prostokątnego krawędzi $ MA $ na prostą $ k $ jest równa polu rzutu prostokątnego kwadratu o bokach $ MB $ i $ MC $ na płaszczyznę prostopadłą do prostej $ k $.

XXX OM - I - Zadanie 8

Spośród stożków wpisanych w kulę $ B $ wybrano taki stożek $ S_1 $ że kula $ K_1 $ wpisana w stożek $ S_1 $ ma maksymalną objętość. Następnie w kulę $ B $ wpisano stożek $ S_2 $ o maksymalnej objętości, a w stożek $ S_2 $ wpisano kulę $ K_2 $. Rozstrzygnąć, co jest większe: suma objętości $ S_1 $ i $ K_1 $, czy suma objętości $ S_2 $ i $ K_2 $.

XXX OM - I - Zadanie 4

W wielościanie wypukłym $ Q $ umieszczono wielościan wypukły $ P $, w którym obrano punkt wewnętrzny $ O $. Dla każdego punktu $ X $ leżącego na ścianie wielościanu $ Q $ oznaczono przez $ P_X $ punkt przecięcia odcinka $ \overline{OX} $ ze ścianą wielościanu $ P $. Dowieść, że istnieje taki wierzchołek $ Y $ wielościanu $ Q $, że

\[<br /> \frac{OY}{OP_Y} \geq \frac{OX}{OP_X}<br /> \]

dla każdego punktu $ X $ leżącego na dowolnej ścianie wielościanu $ Q $.

XXXI - III - Zadanie 5

W czworościanie pola sześciu trójkątów, których bokami są krawędzie, a wierzchołkami środki przeciwległych krawędzi czworościanu, są równe. Udowodnić, że czworościan ten jest foremny.

XXXI - II - Zadanie 3

Dana jest w przestrzeni kula $ K $ i punkty $ A, B $ poza kulą takie, że odcinek $ AB $ przecina wnętrze kuli. Udowodnić, że zbiór tych punktów $ P $, dla których odcinki $ AP $ i $ BP $ są styczne do kuli $ K $, zawarty jest w pewnej płaszczyźnie.

XXXI - I - Zadanie 7

Na sferze o promieniu długości 1 obrano 13 punktów. Dowieść, że wśród tych punktów istnieją takie dwa, których odległość jest mniejsza od $ \frac{2\sqrt{3}}{3} $.

XXXI - I - Zadanie 1

Zbadać dla jakich wartości parametru $ a $ romb o boku długości $ a $ jest przekrojem sześcianu o krawędzi długości 2 płaszczyzną przechodzącą przez środek sześcianu.

Subskrybuje zawartość