Olimpiada Matematyczna

Olimpiada Matematyczna

VI OM - III - Zadanie 1

Jakie warunki powinny spełniać liczby rzeczywiste $ a $, $ b $ i $ c $, żeby równanie

\[<br /> (1) \qquad x^3 + ax^2 + bx + c = 0<br /> \]

miało trzy różne pierwiastki rzeczywiste tworzące postęp geometryczny?

VI OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że spośród siedmiu liczb naturalnych tworzących postęp arytmetyczny o różnicy $ 30 $ jedna i tylko jedna jest podzielna przez $ 7 $.

VI OM - II - Zadanie 6

Wewnątrz kąta trójściennego $ OABC $, którego kąty płaskie $ AOB $, $ BOC $, $ COA $ są równe, obrano punkt $ S $ równo odległy od ścian tego kąta. Przez punkt $ S $ poprowadzono płaszczyznę przecinającą krawędzie $ OA $, $ OB $, $ OC $ odpowiednio w punktach $ M $, $ N $, $ P $. Dowieść, że suma

\[<br /> \frac{1}{OM} + \frac{1}{ON} + \frac{1}{OP}<br /> \]

ma wartość stałą, tzn. niezależną od położenia płaszczyzny $ MNP $.

VI OM - II - Zadanie 5

Dany jest trójkąt $ ABC $. Znaleźć prostokąt o najmniejszym polu zawierający ten trójkąt.

VI OM - II - Zadanie 4

Wewnątrz trójkąta $ ABC $ dany jest punkt $ P $; znaleźć na obwodzie tego trójkąta taki punkt $ Q $, żeby łamana $ APQ $ dzieliła trójkąt na dwie części o równych polach.

VI OM - II - Zadanie 3

Jaki powinien być kąt przy wierzchołku trójkąta równoramiennego, żeby można było zbudować trójkąt o bokach równych wysokości, podstawie i jednemu z pozostałych boków tego trójkąta równoramiennego?

VI OM - II - Zadanie 2

Znaleźć liczbę naturalną $ n $ wiedząc, że suma

\[<br /> 1 + 2 + 3 + \ldots + n<br /> \]

jest liczbą trójcyfrową o jednakowych cyfrach.

VI OM - II - Zadanie 1

Obliczyć sumę $ x^4 + y^4 + z^4 $ wiedząc, że $ x + y + z = 0 $ i $ x^2 + y^2 + z^2 = a $, gdzie $ a $ jest daną liczbą dodatnią.

VI OM - I - Zadanie 12

W jakiej części trójkąta równobocznego powinien leżeć punkt $ P $, aby z odcinków równych odległościom tego punktu od boków trójkąta można było zbudować trójkąt?

VI OM - I - Zadanie 11

Dowieść, że w trójkącie ostrokątnym suma odległości ortocentrum (tzn. punktu przecięcia wysokości) od wierzchołków jest dwa razy większa od sumy promieni kół opisanego i opisanego.

Subskrybuje zawartość