2000-2009

LV OM - I - Zadanie 4

Dany jest trójkąt ostrokątny $ ABC $. Rozważamy wszystkie takie trójkąty równoboczne $ XYZ $, że punkty $ A $, $ B $, $ C $ są odpowiednio punktami wewnętrznymi odcinków $ YZ $, $ ZX $, $ XY $. Dowieść, że środki ciężkości wszystkich rozważanych trójkątów $ XYZ $ leżą na jednym okręgu.

LV OM - I - Zadanie 3

Niech $ \mathbb{Q} $ oznacza zbiór wszystkich liczb wymiernych. Wyznaczyć wszystkie funkcje $ f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} $ spełniające warunek

\[<br /> (1) \qquad f (x^2 + y) = xf (x) + f (y)<br /> \]

dla każdej pary liczb wymiernych $ x $, $ y $.

LV OM - I - Zadanie 2

Rozstrzygnąć, czy istnieje liczba pierwsza $ p $ oraz liczby całkowite nieujemne $ x $, $ y $, $ z $ spełniające równanie

\[<br /> (12x + 5)(12y + 7)= p^z.<br /> \]

LV OM - I - Zadanie 1

Dany jest wielokąt o bokach długości wymiernej, w którym wszystkie kąty wewnętrzne są równe $ 90^{\circ} $ lub $ 270^{\circ} $. Z ustalonego wierzchołka wypuszczamy promień świetlny do wnętrza wielokąta w kierunku dwusiecznej kąta wewnętrznego przy tym wierzchołku. Promień odbija się zgodnie z zasadą: kąt padania jest równy kątowi odbicia. Udowodnić, że promień trafi w jeden z wierzchołków wielokąta.

LVI OM - III - Zadanie 6

Udowodnić, że każdy wielokąt wypukły o polu 1 zawiera sześciokąt wypukły o polu nie mniejszym niż 3/4.

LVI OM - III - Zadanie 5

Niech $ k $ będzie liczbą naturalną większą od 1 i niech $ m = 4k^2 - 5 $.

Wykazać, że istnieją takie liczby całkowite dodatnie $ a $, $ b $, że każdy wyraz ciągu $ (x_n) $ określonego wzorami

\[<br /> x_{1}=a,\ x_{2}=b,\ x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}\ \textrm{dla}\ n\geq 1<br /> \]

jest względnie pierwszy z liczbą $ m $.

LVI OM - III - Zadanie 4

Dana jest liczba rzeczywista $ c> -2 $. Dowieść, że jeżeli liczby $ x_1, x_2,... ,x_n $ ($ n \geq 2 $) są dodatnie oraz

\[<br /> \begin{array}{r}<br /> \sqrt{x_{1}^{2}+cx_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}+\sqrt{x_{2}^{2}+cx_{2}x_{3}+x_{3}^{2}}+\ldots+\sqrt{x_{n}^{2}+cx_{n}x_{1}+x_{1}^{2}}=\\<br /> =\sqrt{c+2}(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}),<br /> \end{array}<br /> \]

to $ c =2 $ lub $ x_1 = x_2 = \ldots = x_n $.

LVI OM - III - Zadanie 3

W kwadratowej tablicy o wymiarach $ 2n \times 2n $, gdzie $ n $ jest liczbą naturalną, znajduje się $ 4n^2 $ liczb rzeczywistych o sumie równej 0 (na każdym polu tablicy jedna liczba). Wartość bezwzględna każdej z tych liczb jest nie większa od 1. Dowieść, że wartość bezwzględna sumy wszystkich liczb z pewnego rzędu (poziomego lub pionowego) nie przekracza $ n $.

LVI OM - III - Zadanie 2

Punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ leżą, w tej właśnie kolejności, na okręgu $ o $. Punkt $ S $ leży wewnątrz okręgu $ o $ i spełnia warunki

\[<br /> \measuredangle SAD = \measuredangle SCB \ \textrm{oraz}\ \measuredangle SDA = \measuredangle SBC.<br /> \]

Prosta zawierająca dwusieczną kąta $ ASB $ przecina okrąg $ o $ w punktach $ P $ i $ Q $. Dowieść, że $ PS = QS $.

LVI OM - III - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie trójki $ (x,y,n) $ liczb całkowitych dodatnich spełniające równanie

\[<br /> (x-y)^n=xy.<br /> \]
Subskrybuje zawartość