2000-2009

LV OM - I - Zadanie 7

Znaleźć wszystkie takie rozwiązania równania $a^2+b^2=c^2$ w liczbach całkowitych dodatnich, że liczby $a$ i $c$ są pierwsze, a liczba $b$ jest iloczynem co najwyżej czterech liczb pierwszych.

LV OM - I - Zadanie 6

Niech $c$ będzie taką liczbą rzeczywistą, że wielomian

$ P(x) = x^5 - 5x^3 + 4x - c $

ma pięć różnych pierwiastków rzeczywistych $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ , $x_4$ , $x_5$ . Wyznaczyć, w zależności od $c$ , sumę wartości bezwzględnych współczynników wielomianu

$ Q(x)=(x-x_{1}^{2})(x-x_{2}^{2})(x-x_{3}^{2})(x-x_{4}^{2})(x-x_{5}^{2}). $

LV OM - I - Zadanie 5

Dla liczb całkowitych dodatnich $m$ , $n$ niech $N(m,n)$ oznacza liczbę $m$ -wyrazowych ciągów niemalejących o wyrazach ze zbioru

$ \{1,2, 3,\ldots,n\}. $

Dowieść, że $N(m, n+1) =N(n, m+1)$ .

Dany jest trójkąt ostrokątny $ABC$ . Rozważamy wszystkie takie trójkąty równoboczne $XYZ$ , że punkty $A$ , $B$ , $C$ są odpowiednio punktami wewnętrznymi odcinków $YZ$ , $ZX$ , $XY$ . Dowieść, że środki ciężkości wszystkich rozważanych trójkątów $XYZ$ leżą na jednym okręgu.

LV OM - I - Zadanie 3

Niech $\mathbb{Q}$ oznacza zbiór wszystkich liczb wymiernych. Wyznaczyć wszystkie funkcje $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ spełniające warunek

$ (1) \qquad f (x^2 + y) = xf (x) + f (y) $

dla każdej pary liczb wymiernych $x$ , $y$ .

LV OM - I - Zadanie 2

Rozstrzygnąć, czy istnieje liczba pierwsza $p$ oraz liczby całkowite nieujemne $x$ , $y$ , $z$ spełniające równanie

$ (12x + 5)(12y + 7)= p^z. $

LV OM - I - Zadanie 1

Dany jest wielokąt o bokach długości wymiernej, w którym wszystkie kąty wewnętrzne są równe $90^{\circ}$ lub $270^{\circ}$ . Z ustalonego wierzchołka wypuszczamy promień świetlny do wnętrza wielokąta w kierunku dwusiecznej kąta wewnętrznego przy tym wierzchołku. Promień odbija się zgodnie z zasadą: kąt padania jest równy kątowi odbicia. Udowodnić, że promień trafi w jeden z wierzchołków wielokąta.

LVI OM - III - Zadanie 6

Udowodnić, że każdy wielokąt wypukły o polu 1 zawiera sześciokąt wypukły o polu nie mniejszym niż 3/4.

LVI OM - III - Zadanie 5

Niech $k$ będzie liczbą naturalną większą od 1 i niech $m = 4k^2 - 5$ .

Wykazać, że istnieją takie liczby całkowite dodatnie $a$ , $b$ , że każdy wyraz ciągu $(x_n)$ określonego wzorami

$ x_{1}=a,\ x_{2}=b,\ x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}\ \textrm{dla}\ n\geq 1 $

jest względnie pierwszy z liczbą $m$ .

LVI OM - III - Zadanie 4

Dana jest liczba rzeczywista $c> -2$ . Dowieść, że jeżeli liczby $x_1, x_2,... ,x_n$ ( $n \geq 2$ ) są dodatnie oraz

$ \begin{array}{r} \sqrt{x_{1}^{2}+cx_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}+\sqrt{x_{2}^{2}+cx_{2}x_{3}+x_{3}^{2}}+\ldots+\sqrt{x_{n}^{2}+cx_{n}x_{1}+x_{1}^{2}}=\\ =\sqrt{c+2}(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}), \end{array} $

to $c =2$ lub $x_1 = x_2 = \ldots = x_n$ .

Olimpiady Matematyczne