1990-1999

XLV OM - III - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie trójki $ (x,y,z) $ liczb wymiernych dodatnich, dla których liczby $ x+y+z $, $ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} $, $ xyz $ są naturalne.

XLV OM - II - Zadanie 6

Dana jest liczba pierwsza p. Wykazać równoważność zdań:

(a) Istnieje taka liczba całkowita $ n $, że liczba $ n^2 - n + 3 $ jest podzielna przez $ p $.

(b) Istnieje taka liczba całkowita $ m $, że liczba $ m^2 - m +25 $ jest podzielna przez $ p $.

XLV OM - II - Zadanie 5

Okrąg wpisany w trójkąt $ ABC $ jest styczny do boków $ AB $ i $ BC $ tego trójkąta odpowiednio w punktach $ P $, $ Q $. Prosta $ PQ $ przecina dwusieczną kąta $ BAC $ w punkcie $ S $. Udowodnić, że ta dwusieczna jest prostopadła do prostej $ SC $.

XLV OM - II - Zadanie 4

Każdemu wierzchołkowi sześcianu przyporządkowano liczbę $ 1 $ lub $ -1 $, a każdej ścianie - iloczyn liczb przyporządkowanych wierzchołkom tej ściany. Wyznaczyć zbiór wartości, które może przyjąć suma $ 14 $ liczb przyporządkowanych ścianom i wierzchołkom.

XLV OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli na sześciokątnym przekroju sześcianu płaszczyzną przechodzącą przez jego środek można opisać okrąg, to przekrój ten jest sześciokątem foremnym.

XLV OM - II - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie wielomiany $ P(x) $ stopnia co najwyżej piątego o współczynnikach rzeczywistych, mające tę własność, że wielomian $ P(x) + 1 $ jest podzielny przez $ (x - 1)^3 $ a wielomian $ P(x) - 1 $ jest podzielny przez $ (x + 1)^3 $.

XLV OM - I - Zadanie 12

Udowodnić, że sumy przeciwległych kątów dwuściennych czworościanu są równe wtedy i tylko wtedy, gdy sumy przeciwległych krawędzi tego czworościanu są równe.

XLV OM - I - Zadanie 11

Trójkąt o obwodzie $ 2p $ jest wpisany w koło o promieniu $ R $ i opisany na kole o promieniu $ r $. Dowieść, że $ p < 2(R + r) $.

XLV OM - I - Zadanie 10

Liczby dodatnie $ p $ i $ q $ spełniają warunek $ p+q=1 $. Wykazać, że dla dowolnych liczb naturalnych $ m $ i $ n $ zachodzi nierówność

\[<br /> (1 - p^m)^n +(1- q^n)^m \geq 1.<br /> \]
Subskrybuje zawartość