1990-1999

XLV OM - III - Zadanie 2

Na płaszczyźnie dane są dwie proste równoległe $k$ i $l$ oraz okrąg rozłączny z prostą $k$ . Z punktu $A$ leżącego na prostej $k$ prowadzimy dwie styczne do tego okręgu przecinające prostą $l$ w punktach $B$ , $C$ . Niech $m$ będzie prostą przechodzącą przez punkt $A$ i środek odcinka $BC$ . Wykazać, że wszystkie uzyskane w ten sposób proste $m$ (odpowiadające różnym wyborom punktu $A$ na prostej $k$ ) mają wspólny punkt.

XLV OM - III - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie trójki $(x,y,z)$ liczb wymiernych dodatnich, dla których liczby $x+y+z$ , $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ , $xyz$ są naturalne.

XLV OM - II - Zadanie 6

Dana jest liczba pierwsza p. Wykazać równoważność zdań:

(a) Istnieje taka liczba całkowita $n$ , że liczba $n^2 - n + 3$ jest podzielna przez $p$ .

(b) Istnieje taka liczba całkowita $m$ , że liczba $m^2 - m +25$ jest podzielna przez $p$ .

XLV OM - II - Zadanie 5

Okrąg wpisany w trójkąt $ABC$ jest styczny do boków $AB$ i $BC$ tego trójkąta odpowiednio w punktach $P$ , $Q$ . Prosta $PQ$ przecina dwusieczną kąta $BAC$ w punkcie $S$ . Udowodnić, że ta dwusieczna jest prostopadła do prostej $SC$ .

XLV OM - II - Zadanie 4

Każdemu wierzchołkowi sześcianu przyporządkowano liczbę $1$ lub $-1$ , a każdej ścianie - iloczyn liczb przyporządkowanych wierzchołkom tej ściany. Wyznaczyć zbiór wartości, które może przyjąć suma $14$ liczb przyporządkowanych ścianom i wierzchołkom.

XLV OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli na sześciokątnym przekroju sześcianu płaszczyzną przechodzącą przez jego środek można opisać okrąg, to przekrój ten jest sześciokątem foremnym.