Olimpiada Matematyczna

Olimpiada Matematyczna

XLIII OM - I - Zadanie 7

Na płaszczyźnie dany jest wielokąt wypukły $ Q $ i prosta $ l $.

(a) Wykazać, że istnieje dokładnie jeden wielokąt $ r $ symetryczny względem $ l $ i taki, że dla każdej prostej $ s $ prostopadłej do $ l $ części wspólne $ s \cap R $ oraz $ s \cap Q $ są odcinkami równej długości, albo zbiorami jednopunktowymi, albo zbiorami pustymi.

(b) Dowieść że wielokąt $ R $ jest wypukły, ma pole równe polu $ Q $ oraz średnica $ R $ jest nie większa od średnicy $ Q $.

Uwaga: Średnicą zbioru $ X $ nazywamy kres górny odległości dowolnych dwóch punktów zbioru $ X $.

XLIII OM - I - Zadanie 6

Funkcja $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ ma tę własność, że funkcja

\[<br /> g(x)=f(x)+\sin(f(x))<br /> \]

jest okresowa. Udowodnić, że funkcja $ f $ też jest okresowa.

XLIII OM - I - Zadanie 5

Dowieść, że jeśli $ n \geq 2 $ jest liczbą naturalną, to liczba

\[<br /> \sqrt{2+\sqrt[3]{3+\ldots+\sqrt[n-1]{n-1+\sqrt[n]{n}}}}<br /> \]

jest niewymierna.

XLIII OM - I - Zadanie 3

Dane są liczby naturalne $ a $ i $ b $. Udowodnić, że liczby naturalne $ c $ i $ d $
spełniające równość

\[<br /> a^2+b^2+c^2 = d^2<br /> \]

istnieją wtedy i tylko wtedy, gdy $ ab $ jest liczbą parzystą.

XLIII OM - I - Zadanie 2

W kwadracie $ ABCD $ o boku długości $ 1 $ punkt $ E $ leży na boku $ BC $, punkt $ F $ leży na boku $ CD $, miary kątów $ EAB $ i $ EAF $ wynoszą odpowiednio $ 20^{\circ} $ i $ 45^{\circ} $. Obliczyć wysokość, trójkąta $ AEF $ poprowadzoną z wierzchołka $ A $.

XLIII OM - I - Zadanie 1

Wyznaczyć, w zależności od stałych rzeczywistych $ a $, $ b $ liczbę rozwiązań układu równań

\[<br /> \begin{cases}<br /> |x+y|+|x-y| &= 2a \\<br /> y-b &= |x-b|.<br /> \end{cases}<br /> \]

XLIV OM - III - Zadanie 6

Rozstrzygnąć, czy można obliczyć objętość czworościanu znając pola jego czterech ścian oraz promień kuli opisanej (tzn. czy objętość czworościanu jest funkcją pól jego ścian i promienia kuli opisanej).

XLIV OM - III - Zadanie 5

Wyznaczyć wszystkie funkcje $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ spełniające następujące warunki:

\[<br /> f(-x)=-f(x), \quad f(x+1)=f(x)+1 \quad \text{ dla }x \in \mathbb{R},<br /> \]
\[<br /> f\left(\frac{1}{x}\right) =\frac{f(x)}{x^2} \quad \text{ dla } x\neq 0.<br /> \]

XLIV OM - III - Zadanie 4

Dany jest wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są trójkątami. Wierzchołki tego wielościanu kolorujemy trzema kolorami. Udowodnić, że liczba ścian mających wierzchołki wszystkich trzech kolorów jest parzysta.

Subskrybuje zawartość