Olimpiada Matematyczna

XLIV OM - I - Zadanie 11

W sześciu różnych okienkach tabeli o wymiarach $n \times n$ stawiamy krzyżyk; wszystkie układy krzyżyków są jednakowo prawdopodobne. Niech $p_n$ będzie prawdopodobieństwem tego, że w pewnym rzędzie poziomym lub pionowym znajdą się co najmniej dwa krzyżyki. Obliczyć granicę ciągu $(np_n)$ , gdy $n \to \infty$ .

XLIV OM - I - Zadanie 10

Funkcja $f$ przekształcająca sześcian $\mathcal{C}$ na $\mathcal{C}$ spełnia warunek

$ |PQ| \geq |f(P)f(Q)| \quad \text{ dla } P,Q\in \mathcal{C}. $

Wykazać, że $f$ jest izometrią.

XLIV OM - I - Zadanie 9

Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ , $c$ zachodzi nierówność

$ \begin{split} (a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)&(c^2+a^2-b^2) \leq \\ &\leq (a+b-c)^2(b+c-a)^2(c+a-b)^2 \end{split} $

XLIV OM - I - Zadanie 8

Dla ustalonej liczby naturalnej $n \geq 2$ wyznaczyć maksymalną wartość sumy liczb naturalnych $k_1, k_2, \ldots , k_n$ spełniających warunek

$ k_1^3 + k_2^3 + \ldots k_n^3 \leq 7n $

XLIV OM - I - Zadanie 7

W przestrzeni dane są punkty

$ A_0 = (0,0,0),\; A_1 = (1,0,0),\; A_2 = (0,1,0),\; A_3 = (0,0,1). $

Niech $P_{ij}$ ( $i,j \in \{0,1,2,3\}$ ) będą punktami wyznaczonymi przez równość $\overrightarrow{A_0P_{ij}} = \overrightarrow{A_iA_j}$ . Obliczyć objętość najmniejszego wielościanu wypukłego zawierającego wszystkie punkty $P_ij$ .

XLIV OM - I - Zadanie 6

Ciąg $(x_n)$ jest określony następująco:

$ x_0 = 1992, \quad x_n = -\frac{1992}{n} \cdot \sum_{k=0}^{n-1} x_k \quad \text{ dla } n\geq 1. $

Obliczyć sumę $\sum_{n=0}^{1992} 2^n x_n$ .

XLIV OM - I - Zadanie 5

Dana jest półpłaszczyzna oraz punkty $A$ i $C$ na jej krawędzi. Dla każdego punktu $B$ tej półpłaszczyzny rozważamy kwadraty $ABKL$ i $BCMN$ leżące na zewnątrz trójkąta $ABC$ . Wyznaczają one odpowiadającą punktowi $B$ prostą $LM$ . Udowodnić, że wszystkie proste odpowiadające różnym położeniom punktu $B$ przechodzą przez jeden punkt.

XLIV OM - I - Zadanie 4

Wyznaczyć wszystkie funkcje $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takie, że

$ f(x+y)-f(x-y)=f(x)\cdot f(y) \quad \text{ dla } x,y \in \mathbb{R}. $

XLIV OM - I - Zadanie 3

Dany jest sześciokąt $ABCDEF$ mający środek symetrii. Oznaczmy przez $A'$ punkt przecięcia prostych $AB$ i $EF$ , przez $B'$ - punkt przecięcia prostych $BC$ i $AF$ , a przez $C'$ - punkt przecięcia prostych $AB$ i $CD$ . Dowieść, że $|AB| \cdot |BC| \cdot |CD| = |AA'| \cdot |BB'| \cdot |CC'|$ .

Rozwiązanie

Dany sześciokąt ma środek symetrii. Jego przeciwległe boki są więc równoległe i równej długości; w szczególności zachodzą związki:

$ EF\parallel BC, \quad FA \parallel CD, \quad |FA| = |CD|. $

Ponieważ punkty $A'$ i $B'$ leżą odpowiednio na prostych $EF$ i $BC$ , a punkty $B'$ i $C'$ leżą odpowiednio na prostych $FA$ i $CD$ , zatem możemy przepisać poprzednie związki równoległości jako

$ A'F\parallel BB',\quad AB'\parallel C'C. $

Z pierwszego z nich wynika, że trójkąt $A'AF$ jest podobny do trójkąta $BAB'$ , a z drugiego - że trójkąt $BAB'$ jest podobny do trójkąta $BC'C$ (rysunek 1). Uzyskujemy w ten sposób proporcje

$ \frac{|AA'|}{|AB|}=\frac{|AF|}{|AB'|} \quad \textrm{oraz} \quad \frac{|BB'|}{|BC|}=\frac{|AB'|}{|C'C|}, $

które - pomnożone stronami - dają związek

$ \frac{|AA'|}{|AB|}\cdot \frac{|BB'|}{|BC|} =\frac{|AF|}{|CC'|}. $

Ponieważ zaś $|AF| = |CD|$ , zatem, ostatecznie,

$ \frac{|AA'|}{|AB|}\cdot \frac{|BB'|}{|BC|} \cdot \frac{|CC'|}{|CD|}=1. $

Warto zauważyć, że rozumowanie jest niezależne od tego, czy sześciokąt $ABCDEF$ jest wypukły, czy nie (rysunek 1).

Dodaj komentarz

XLIV OM - I - Zadanie 2

Dana jest liczba naturalna $n \geq 3$ . Rozwiązać układ równań

$ \begin{cases} \tan x_1 + 3\cot x_1 &= 2 \tan x_2 \\ \tan x_2 + 3\cot x_1 &= 2 \tan x_3 \\ \ldots \ldots \ldost \ldots \\ \tan x_{n-1} + 3\cot x_{n-1} &= 2 \tan x_n \\ \tan x_n + 3\cot x_n &= 2 \tan x_1 \\ \end{cases} $

Olimpiady Matematyczne