Olimpiada Matematyczna

XLIV OM - I - Zadanie 1

Rozwiązać równanie

$ \frac{(x^2-1)(|x|+1)}{x+\mathrm{sgn}(x)} = [x+1] $

Uwaga: $[t]$ jest największą liczbą całkowitą nie większą od $t$ ,

$ \mathrm{sgn}(x) = \begin{cases} 1, & \text{ gdy } x > 0 \\ 0, & \text{ gdy } x = 0 \\ -1, & \text{ gdy } x < 0. \end{cases} $

Rozwiązanie

Oznaczmy lewą i prawą stronę równania odpowiednio przez $L(x)$ i $P(x)$ ; z postaci równania wynika, że $x\neq 0$ . Dla wszystkich liczb $x \neq 0$ mianownik ułamka definiującego wyrażenie $L(x)$ jest różny od zera, a więc wyrażenie to jest dobrze określone i mamy równość

$ |x| + 1 = x \cdot \sgn x + (\sgn x)^2 = (x + \sgn x) \sgn x; $

stąd zaś

$ L(x) = (x^2 - 1)\sgn x. $

Wartość bezwzględna prawej strony danego równania spełnia oczywiste oszacowanie $|P(x)| \leq |x| +1$ . Jeśli więc $|x| > 2$ , to

$ |L(x)|-|P(x)| \geq (x^2-1) - (|x| +1) = (|x|-2)(|x| + 1) >0. $

Zatem równanie nie ma rozwiązań w zbiorze $(-\infty;-2)\cup(2;\infty )$ .

Dla $x = 2$ równanie jest spełnione. W pozostałym zbiorze $\langle-2;0)\cup(0; 2)$ funkcje $L(x)$ i $P(x)$ są dane wzorami

$ L(x)=(x^2-1)\sgn x = \left\{\begin{array}{ll} 1-x^2& \textrm{dla } x \in \langle-2;0),\\ x^2-1& \textrm{dla } x \in (0;2)\\ \end{array}\right. $

oraz

$ P(x)=[x + 1]= \left\{\begin{array}{rl} -1& \textrm{dla } x \in \langle-2;-1),\\ 0& \textrm{dla } x \in \langle-1;0),\\ 1& \textrm{dla } x \in (0;1),\\ 2& \textrm{dla } x \in \langle1;2),\\ \end{array}\right. $

a ich różnica ma postać

$ L(x)-P(x)= \left\{\begin{array}{rl} 2-x^2& \textrm{dla } x \in \langle-2;-1),\\ 1-x^2& \textrm{dla } x \in \langle-1;0),\\ x^2-2& \textrm{dla } x \in (0;1),\\ x^2-3& \textrm{dla } x \in \langle1;2),\\ \end{array}\right. $

Przyrównanie do zera uzyskanych wyrażeń kwadratowych daje (w odpowiednich przedziałach) pierwiastki: $-\sqrt{2}$ , $-1$ , $\sqrt{3}$ . Uwzględniając znaleziony wcześniej pierwiastek $x = 2$ mamy pełne rozwiązanie:

$ \{x \in \mathbb{R}\setminus \{0\}: L(x) = P(x)\} = \{-\sqrt{2},-1,\sqrt{3},2\}. $

Dodaj komentarz

XLV OM - III - Zadanie 6

Różne liczby rzeczywiste $x_1, x_2, \ldots , x_n$ ( $n \geq 4$ ) spełniają warunki

$ \sum_{i=1}^n x_i = 0,\qquad \sum_{i=1}^n x_i^2 = 1. $

Dowieść, że spośród tych liczb można wybrać takie cztery różne liczby $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , aby zachodziły nierówności

$ a+b+c+nabc \leq \sum_{i=1}^n x_i^3 \leq a+b+d+nabd. $

XLV OM - III - Zadanie 5

Punkty $A_1, A_2, \ldots , A_8$ są wierzchołkami równoległościanu o środku $O$ . Wykazać, że

$ r\cdot \sum_{i=1}^8 |OA_i|^2 \leq \left(\sum_{i=1}^8 |OA_i| \right)^2. $

XLV OM - III - Zadanie 4

Dysponujemy trzema naczyniami bez podziałki: pustym $m$ -litrowym, pustym $n$ -litrowym oraz napełnionym wodą $(m+n)$ -litrowym. Liczby $m$ i $n$ są liczbami naturalnymi względnie pierwszymi. Udowodnić, że dla każdej liczby $k \in \{1,2, \ldots , m+n-1\}$ można za pomocą przelewania wody otrzymać w trzecim naczyniu dokładnie $k$ litrów wody.

XLV OM - III - Zadanie 3

Dana jest liczba całkowita $c \geq 1$ . Każdemu podzbiorowi $A$ zbioru $\{1,2, \ldots ,n\}$ przyporządkowujemy liczbę $w(A)$ ze zbioru $\{1,2, \ldots ,c\}$ tak, by był spełniony następujący warunek:

$ w(A \cap B) = \min(w(A),w(B)) \quad \text{ dla } A, B \subset \{1,2, \ldots , n\}. $

Niech $a(n)$ będzie liczbą takich przyporządkowań. Obliczyć $\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{a(n)}$ .

Uwaga: $\min(x,y)$ jest nie większą z liczb $x$ , $y$ .

XLV OM - III - Zadanie 2

Na płaszczyźnie dane są dwie proste równoległe $k$ i $l$ oraz okrąg rozłączny z prostą $k$ . Z punktu $A$ leżącego na prostej $k$ prowadzimy dwie styczne do tego okręgu przecinające prostą $l$ w punktach $B$ , $C$ . Niech $m$ będzie prostą przechodzącą przez punkt $A$ i środek odcinka $BC$ . Wykazać, że wszystkie uzyskane w ten sposób proste $m$ (odpowiadające różnym wyborom punktu $A$ na prostej $k$ ) mają wspólny punkt.

XLV OM - III - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie trójki $(x,y,z)$ liczb wymiernych dodatnich, dla których liczby $x+y+z$ , $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ , $xyz$ są naturalne.

XLV OM - II - Zadanie 6

Dana jest liczba pierwsza p. Wykazać równoważność zdań:

(a) Istnieje taka liczba całkowita $n$ , że liczba $n^2 - n + 3$ jest podzielna przez $p$ .

(b) Istnieje taka liczba całkowita $m$ , że liczba $m^2 - m +25$ jest podzielna przez $p$ .

XLV OM - II - Zadanie 5

Okrąg wpisany w trójkąt $ABC$ jest styczny do boków $AB$ i $BC$ tego trójkąta odpowiednio w punktach $P$ , $Q$ . Prosta $PQ$ przecina dwusieczną kąta $BAC$ w punkcie $S$ . Udowodnić, że ta dwusieczna jest prostopadła do prostej $SC$ .

XLV OM - II - Zadanie 4

Każdemu wierzchołkowi sześcianu przyporządkowano liczbę $1$ lub $-1$ , a każdej ścianie - iloczyn liczb przyporządkowanych wierzchołkom tej ściany. Wyznaczyć zbiór wartości, które może przyjąć suma $14$ liczb przyporządkowanych ścianom i wierzchołkom.

Olimpiady Matematyczne