Olimpiada Matematyczna

XLV OM - I - Zadanie 5

Udowodnić, że jeżeli wielomian $x^3 + ax^2 + bx + c$ ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste, to wielomian $x^3 + ax^2 + \frac{1}{4}(a^2 + b)x +\frac{1}{8}(ab - c)$ także ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste.

XLV OM - I - Zadanie 4

Dany jest okrąg o środku $O$ , punkt $A$ wewnątrz tego okręgu oraz cięciwa $PQ$ , nie będąca średnicą, przechodząca przez $A$ . Proste $p$ i $q$ są styczne do rozważanego okręgu odpowiednio w punktach $P$ i $Q$ . Prosta $l$ przechodząca przez punkt $A$ i prostopadła do $OA$ przecina proste $p$ i $q$ odpowiednio w punktach $K$ i $L$ . Wykazać, że $|AK|=|AL|$ .

XLV OM - I - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli $a$ , $b$ , $c$ są długościami boków trójkąta, to

$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq \frac{1}{b+c-a} + \frac{1}{c+a-b} + \frac{1}{a+b-c}. $

XLV OM - I - Zadanie 2

Ciąg funkcji $f_0, f_1, f_2, \ldots$ jest określony następująco:

$ f_0(x) = |x| \quad \text{ dla wszystkich } x \in \mathbb{R}, $

$ f_{n+1}(x) = |f_n(x)-2| \quad \text{ dla } n=O,1,2, \ldots \text{ oraz wszystkich } x \in \mathbb{R}. $

Dla każdej liczby naturalnej $n$ rozwiązać równanie $f_n(x) = 1$ .

XLV OM - I - Zadanie 1

Udowodnić, że układ równań

$ \begin{cases} a^2 - b = c^2 \\ b^2 - a = d^2 \end{cases} $

nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich $a$ , $b$ , $c$ , $d$ .

XLVI OM - III - Zadanie 6

Dane są trzy niewspółpłaszczyznowe półproste $k$ , $l$ , $m$ o wspólnym początku $P$ oraz punkt $A$ różny od $P$ należący do $k$ . Wykazać, że istnieje dokładnie jedna para punktów $B$ , $C$ , należących odpowiednio do $l$ i $m$ , taka, że

$ |PA| + |AB| = |PC| + |CB| \quad \text{oraz} \quad |PB| + |BC| = |PA| + |AC|. $

XLVI OM - III - Zadanie 5

Niech $n$ i $k$ będą liczbami naturalnymi. Z urny, w której znajduje się 11 kartek ponumerowanych liczbami od 1 do $n$ , losujemy kartki kolejno po jednej, bez zwracania. Gdy pojawi się kartka o numerze podzielnym przez $k$ , przerywamy losowanie. Dla ustalonego $n$ wyznaczyć te liczby $k \leq n$ , dla których wartość oczekiwana liczby wylosowanych kartek jest równa dokładnie $k$ .

XLVI OM - III - Zadanie 4

Dla danej liczby naturalnej $n \geq 1$ wyznaczyć najmniejszą wartość wyrażenia

$ x_1 + \frac{x_2^2}{2} + \frac{x_3^3}{3} + \ldots + \frac{x_n^n}{n} $

gdzie $x_1, x_2, \ldots , x_n$ są liczbami dodatnimi spełniającymi warunek

$ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n} = n. $

XLVI OM - III - Zadanie 3

Dana jest liczba pierwsza $p \geq 3$ . Określamy ciąg $(a_n)$ wzorami

$ \begin{split} a_n = n & \text{ dla } n=0,1,2,\ldots,p-1, \\ a_n = a_{n-1} + a_{n-p} & \text{ dla } n\geq p. \end{split} $

Wyznaczyć resztę z dzielenia liczby $a_{p^3}$ przez $p$ .

XLVI OM - III - Zadanie 2

Przekątne pięciokąta wypukłego dzielą ten pięciokąt na pięciokąt i dziesięć trójkątów. Jaka jest maksymalna możliwa do uzyskania liczba trójkątów o równych polach?

Olimpiady Matematyczne