Olimpiada Matematyczna

XLVI OM - III - Zadanie 1

Wyznaczyć liczbę podzbiorów zbioru $\{1,2, \ldots , 2n\}$ , w których równanie $x + y = 2n+1$ nie ma rozwiązań.

Kwadrat o boku długości $n$ dzielimy na $n^2$ kwadratów jednostkowych. Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $n$ , dla których taki kwadrat mozna pociąć wzdłuż linii tego podziału na kwadraty, z których każdy ma bok długości 2 lub 3.

XLVI OM - II - Zadanie 5

Okręgi wpisane w ściany $ABC$ i $ABD$ czworościanu $ABCD$ są styczne do krawędzi $AB$ w tym samym punkcie. Wykazać, że punkty styczności tych okręgów z krawędziami $AC$ , $BC$ oraz $AD$ , $BD$ leżą na jednym okręgu.

XLVI OM - II - Zadanie 4

Liczby dodatnie $x_l, x_2, \ldots , x_n$ spełniają warunek

$ \sum_{i=1}^n x_i \leq \sum_{i=1}^n x_i^2 $

Dowieść, że dla każdej liczby rzeczywistej $t$ większej od 1 zachodzi nierówność

$ \sum_{i=1}^n x_i^t \leq \sum_{i=1}^n x_i^{t+1} $

XLVI OM - II - Zadanie 3

Dane są liczby niewymierne dodatnie $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , przy czym $a+b = 1$ . Udowodnić, że $c+d = 1$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi równość $[na] +[nb] = [nc] + [nd]$ .

Uwaga: $[x]$ jest największą liczbą całkowitą nie większą od $x$ .

XLVI OM - II - Zadanie 2

W sześciokącie wypukłym $ABCDEF$ zachodzą następujące równości: $|AB| = |BC|$ , $|CD| = |DE|$ , $|EF| = |FA|$ . Wykazać, że proste zawierające wysokości trójkątów $BCD$ , $DEF$ i $FAB$ poprowadzone odpowiednio z wierzchołków $C$ , $E$ , $A$ przecinają się w jednym punkcie.

XLVI OM - II - Zadanie 1

Wielomian $P(x)$ ma współczynniki całkowite. Udowodnić, że jeżeli liczba $P(5)$ dzieli się przez 2, a liczba $P(2)$ dzieli się przez 5, to liczba $P(7)$ dzieli się przez 10.

XLVI OM - I - Zadanie 12

Ciąg $(x_n)$ jest określony następująco:

$ x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_n = \frac{2n-3}{2n} \cdot x_{n-1} \quad \text{ dla } n=2,3,4,\ldots . $

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ zachodzi nierówność

$ x_1 + x_2 + \ldots + x_n < 1. $

XLVI OM - I - Zadanie 11

Dane są liczby naturalne $n > m > 1$ . Ze zbioru $\{1,2, \ldots ,n\}$ losujemy bez zwracania $m$ liczb. Obliczyć wartość oczekiwaną różnicy między największą a najmniejszą wylosowaną liczbą.

XLVI OM - I - Zadanie 10

Dana jest prosta $k$ oraz leżące na niej trzy różne punkty. Każdy z nich jest początkiem pary półprostych; wszystkie te półproste leżą w jednej półpłaszczyźnie o krawędzi $k$ . Każda z tych par półprostych wyznacza z każdą inną czworokąt. Dowieść, że jeśli w dwa z tych czworokątów można wpisać okrąg, to również w trzeci można wpisać okrąg.

Olimpiady Matematyczne