Olimpiada Matematyczna

XLVI OM - I - Zadanie 9

Niech $a$ i $b$ będą liczbami rzeczywistymi, których suma jest równa 1. Wykazać, że jeżeli $a^3$ i $b^3$ są liczbami wymiernymi, to $a$ i $b$ też są liczbami wymiernymi.

W ostrosłupie prawidłowym $n$ -kątnym kąty nachylenia ściany bocznej i krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy wynoszą odpowiednio $\alpha$ i $\beta$ . Udowodnić, że $\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta \leq \tan ^2 \frac{\pi}{2n}$ .

XLVI OM - I - Zadanie 7

(a) Rozstrzygnąć, czy istnieje funkcja różniczkowalna $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ nie równa tożsamościowo zeru, spełniająca warunki:

$ 2f(f(x)) = f(x) \geq 0 \quad \text{ dla } x\in \mathbb{R} $

(b) Rozstrzygnąć, czy istnieje funkcja różniczkowalna $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ nie równa tożsamościowo zeru, spełniająca warunki:

$ -1 \leq 2f(f(x)) = f(x) \leq 1 \quad \text{ dla } x\in \mathbb{R} $

XLVI OM - I - Zadanie 6

Wewnątrz trójkąta $ABC$ obrano punkt $P$ . Proste $AP$ , $BP$ , $CP$ przecinają boki $BC$ , $CA$ , $AB$ odpowiednio w punktach $A'$ , $B'$ , $C'$ . Przyjmijmy: $u=|AP|:|PA'|$ , $v=|BP|:|PB'|$ , $w=|CP|:|PC'|$ . Wyrazić iloczyn $uvw$ przez sumę $u+v+w$ .

XLVI OM - I - Zadanie 5

Dane są liczby dodatnie $a$ , $b$ . Wykazać równoważność zdań:

$ (1) \qquad \sqrt{a} + 1 > \sqrt{b}, $

$ (2) \qquad ax + \frac{x}{x-1} \quad \text{dla każdego } x>1. $

XLVI OM - I - Zadanie 4

W pewnej szkole 64 uczniów bierze udział w pięciu olimpiadach przedmiotowych. W każdej z tych olimpiad uczestniczy co najmniej 19 uczniów tej szkoły; żaden z nich nie jest uczestnikiem więcej niż trzech olimpiad. Udowodnić, że jeżeli każde trzy olimpiady mają wspólnego uczestnika, to pewne dwie mają ich co najmniej pięciu.