1980-1989

XXXV OM - I - Zadanie 10

Na płaszczyźnie dane jest $3n$ punktów, wśród których nie ma trzech punktów współliniowych. Dowieść, że istnieje $n$ rozłącznych trójkątów o wierzchołkach w danych punktach.

Trzy zdarzenia spełniają warunki:
a) ich prawdopodobieństwa są równe,
b) każde dwa spośród nich są niezależne,
c) nie zachodzą równocześnie.
Wyznaczyć największą wartość prawdopodobieństwa każdego z tych zdarzeń.

XXXV OM - I - Zadanie 8

Niech $n$ będzie liczbą naturalną parzystą. Udowodnić, że czworokąt można podzielić na $n$ trójkątów, których wierzchołki leżą w wierzchołkach czworokąta albo wewnątrz czworokąta, a bok każdego trójkąta jest albo bokiem czworokąta, albo bokiem innego trójkąta.

XXXV OM - I - Zadanie 7

Udowodnić, że dla dowolnych liczb naturalnych $m, p$ większych od 1 spełniona jest nierówność

$ \sum_{k=1}^m \frac{1}{(k+1)\cdot\sqrt[p]{k}} < p. $

XXXV OM - I - Zadanie 6

Rozwiązać układ równań

$ \begin{cases} \frac{x+y}{1+xy} &= \frac{2a}{1+a^2}, \\ \frac{x-y}{1-xy} &= \frac{2b}{1+b^2}. \end{cases} $

XXXV OM - I - Zadanie 5

Udowodnić, że istnieje taka wielokrotność liczby $5^n$ , której zapis w układzie dziesiętnym składa się $n$ cyfr różnych od zera.

XXXV OM - I - Zadanie 4

Dane są dwa przecinające się okręgi $o(O_1, r_1)$ i $o(O_2, r_2)$ i prosta styczna do nich odpowiednio w punktach $A$ i $B$ . Punkt $C$ jest punktem wspólnym tych okręgów bliższym prostej $AB$ , $R$ jest długością promienia okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ , $d = O_1O_2$ Udowodnić, że $\measuredangle ABC = \measuredangle O_1CO_2$ wtedy i tylko wtedy, gdy $d^2 = r_1^2 + r_2^2 + R^2$ .