1970-1979

XXV - I - Zadanie 10

Każda przekątna pewnego pięciokąta wypukłego odcina od niego trójkąt o polu 1. Obliczyć pole tego pięciokąta.

XXV - I - Zadanie 9

Zbiór dokumentów rozdzielono na $ n $ części dając je do przechowania $ n $ osobom, z których każda posiada telefon. Dowieść, że dla $ n \geq 4 $ wystarczy $ 2n - 4 $ rozmów telefonicznych, aby po ich przeprowadzeniu każda z $ n $ osób znała treść wszystkich dokumentów.

XXV - I - Zadanie 8

Dany jest wielościan wypukły i punkt $ A $ w jego wnętrzu. Udowodnić, że istnieje taka ściana $ S $ tego wielościanu, że rzut prostokątny punktu $ A $ na jej płaszczyznę należy do $ S $.

XXV - I - Zadanie 7

Udowodnić, że jeżeli w trójkącie ostrokątnym każdą wysokość można za pomocą ruchu sztywnego przenieść wewnątrz trójkąta tak, aby jej spodek zajął miejsce wierzchołka, a wierzchołek miejsce spodka, to trójkąt jest równoboczny.

XXV - I - Zadanie 6

Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ a, b, c $ pewna, wartość funkcji $ f(x) = |a \sin x + b \sin 2x + c sin 4x| $ jest nie mniejsza od $ \frac{1}{2}(|a| + |b| + |c|) $.

XXV - I - Zadanie 5

Dowieść, że dla każdego $ k $, $ k $-te od końca cyfry w układzie dziesiętnym liczb $ 5, 5^2, 5^3, \ldots $ tworzą od pewnego miejsca ciąg okresowy.

XXV - I - Zadanie 4

Dowieść, że jeśli $ x_1, \ldots, x_n $ są takimi liczbami rzeczywistymi, że $ \sum_{i=1}^n x_i = 0 $, to dla dowolnych liczb rzeczywistych $ t_1, t_2, \ldots, t_n $ prawdziwa jest nierówność

\[<br /> \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (t_i-t_j)^2 x_ix_j<br /> \]

XXV - I - Zadanie 3

Udowodnić, że dwusieczne kątów utworzonych przez proste zawierające przeciwległe boki czworokąta wypukłego wpisanego w okrąg są odpowiednio równoległe do dwusiecznych kątów utworzonych przez proste zawierające przekątne tego czworokąta.

XXV - I - Zadanie 1

W czasie pierwszej wojny światowej toczyła się bitwa w pobliżu pewnego zamku. Jeden z pocisków rozbił stojącą u wejścia do zamku statuą rycerza z piką w ręku. Stało się to ostatniego dnia miesiąca. Iloczyn daty dnia, numeru miesiąca, wyrażonej w stopach długości piki, połowy wyrażonego w latach wieku dowódcy baterii strzelającej do zamku oraz połowy wyrażonego w latach czasu, jaki stała statua, równa sią 451 066. W którym roku postawiono statuę?

Subskrybuje zawartość