1960-1969

XV OM - I - Zadanie 10

Znaleźć $ n $-ty wyraz ciągu liczb $ a_1, a_2, a_n, \ldots $, w którym $ a_1 = 1 $, $ a_2 = 3 $, $ a_3 = 6 $ oraz dla każdego naturalnego $ k $

\[<br /> (1) \qquad a_{k-3}-3a_{k-2}+3a_{k-1}-a_k=0.<br /> \]

XV OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że iloraz sumy wszystkich dzielników naturalnych liczby calkowitej $ n > 1 $ przez liczbę tych dzielników jest większy od $ \sqrt{n} $.

XV OM - I - Zadanie 8

Na trzech parami skośnych krawędziach sześcianu obrać po jednym punkcie w taki sposób, żeby suma kwadratów boków utworzonego przez nie trójkąta była najmniejsza.

XV OM - I - Zadanie 7

Dany jest okrąg i wewnątrz niego punkty $ A $ i $ B $. Znaleźć na tym okręgu taki punkt $ P $, żeby kąt $ APB $ był oparty na cięciwie $ MN $ równej $ AB $. Czy zadanie posiada rozwiązanie, jeżeli dane punkty, lub tylko jeden z nich, leżą na zewnątrz okręgu?

XV OM - I - Zadanie 5

Dowieść następujących twierdzeń, w których, $ m $ i $ n $ oznaczają liczby naturalne.
1. Jeżeli $ m > 1 $, a $ m^n-1 $ jest liczbą pierwszą, to $ n $ jest potęgą liczby 2 o wykładniku całkowitym.
2. Jeżeli $ n > 1 $, a $ m^n- 1 $ jest liczbą pierwszą, to $ m = 2 $, a $ n $ jest liczbą pierwszą.

XV OM - I - Zadanie 4

Na płaszczyźnie leży 5 punktów, z których żadne 3 nie są współliniowe. Dowieść, że wśród nich są cztery punkty będące wierzchołkami czworokąta wypukłego.

XV OM - I - Zadanie 3

Dowieść, że punkty symetryczne do punktu przecięcia wysokości trójkąta $ ABC $ względem prostych $ AB, BC, CA $ leżą na okręgu opisanym na trójkącie $ ABC $.

XV OM - I - Zadanie 2

Udowodnić następujące dwie cechy podzielności przez 7:
a) Liczba naturalna $ N $ jest podzielna przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez 7 liczba $ P $ utworzona w taki sposób: pierwszą od lewej strony cyfrę liczby $ N $ mnożymy przez 3 i do wyniku dodajemy drugą cyfrę; otrzymaną liczbę mnożymy przez 3 i dodajemy do wyniku trzecią cyfrę itd. aż do wyczerpania wszystkich cyfr.
b) Liczba naturalna $ N $ jest podzielna przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez 7 liczba $ Q $ utworzona w ten sposób, że ostatnią (od lewej strony) cyfrę liczby $ N $ mnożymy przez 5, do wyniku dodajemy przedostatnią cyfrę, otrzymaną liczbę mnożymy przez 5 i dodajemy do wyniku trzecią cyfrę od końca itd. aż do wyczerpania wszystkich cyfr.

XV OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi równość

\[<br /> (1) \qquad l^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = (1 + 2 + \ldots + n)^2<br /> \]
Subskrybuje zawartość