Olimpiada Matematyczna, Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna, Austriacko-Polskie Zawody Matematyczne, Zawody Matematyczne Państw Bałtyckich, Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne, Środkowo-Europejska Olimpiada Matematyczna

VI OM - II - Zadanie 3

Jaki powinien być kąt przy wierzchołku trójkąta równoramiennego, żeby można było zbudować trójkąt o bokach równych wysokości, podstawie i jednemu z pozostałych boków tego trójkąta równoramiennego?

VI OM - II - Zadanie 2

Znaleźć liczbę naturalną $ n $ wiedząc, że suma

\[<br /> 1 + 2 + 3 + \ldots + n<br /> \]

jest liczbą trójcyfrową o jednakowych cyfrach.

VI OM - II - Zadanie 1

Obliczyć sumę $ x^4 + y^4 + z^4 $ wiedząc, że $ x + y + z = 0 $ i $ x^2 + y^2 + z^2 = a $, gdzie $ a $ jest daną liczbą dodatnią.

VI OM - I - Zadanie 12

W jakiej części trójkąta równobocznego powinien leżeć punkt $ P $, aby z odcinków równych odległościom tego punktu od boków trójkąta można było zbudować trójkąt?

VI OM - I - Zadanie 11

Dowieść, że w trójkącie ostrokątnym suma odległości ortocentrum (tzn. punktu przecięcia wysokości) od wierzchołków jest dwa razy większa od sumy promieni kół opisanego i opisanego.

VI OM - I - Zadanie 9

Przedstawić wielomian $ x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 $ w postaci różnicy kwadratów dwóch wielomianów niejednakowego stopnia o współczynnikach rzeczywistych.

VI OM - I - Zadanie 8

Dowieść, że w trapez można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy okręgi, których średnicami są boki nierównoległe trapezu, są do siebie styczne zewnętrznie.

VI OM - I - Zadanie 7

Na środkowej $ CM $ trójkąta $ ABC $ obrano punkt $ N $ i poprowadzono prostą $ AN $ przecinającą bok $ BC $ w punkcie $ Q $ oraz prostą $ BN $ przecinającą bok $ AC $ w punkcie $ P $. Dowieść, że prosta $ PQ $ jest równoległa do prostej $ AB $.

VI OM - I - Zadanie 6

Jakie warunki konieczne i dostateczne powinny spełniać liczby całkowite $ a $ i $ b $, przy czym $ b $ nie jest kwadratem liczby całkowitej, żeby istniały liczby całkowite $ x $ i $ y $ spełniające równanie

\[<br /> \sqrt{a- \sqrt{b}} = \sqrt{x} - \sqrt{y}.<br /> \]
Subskrybuje zawartość