Ciągi, Funkcje i ich własności, Kombinatoryka i logika, Liczby całkowite, Liczby rzeczywiste, Nierówności, Planimetria, Rachunek prawdopodobieństwa, Równania funkcyjne, Równania wielomianowe, Stereometria, Wielomiany

VI OM - I - Zadanie 6

Jakie warunki konieczne i dostateczne powinny spełniać liczby całkowite $a$ i $b$ , przy czym $b$ nie jest kwadratem liczby całkowitej, żeby istniały liczby całkowite $x$ i $y$ spełniające równanie

$ \sqrt{a- \sqrt{b}} = \sqrt{x} - \sqrt{y}. $

VI OM - I - Zadanie 5

Znaleźć wzór wyrażający sumę

$ \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \ldots + \frac{n}{2^n} $

w zależności od $n$ .

VI OM - I - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli istnieje kula styczna do wszystkich krawędzi czworościanu, to sumy krawędzi przeciwległych czworościanu są równe i że prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne.

VI OM - I - Zadanie 3

Przez środek jednego z boków nierównoległych trapezu przeprowadzić prostą, która dzieli trapez na dwie części o równych polach.

Fabryka wysyła towar w paczkach po $3$ kg i po $5$ kg. Wykazać, że można w ten sposób wysłać każdą całkowitą ilość kilogramów większą niż $7$ . Czy można w tym zadaniu zastąpić dane liczby innymi liczbami?

VI OM - I - Zadanie 1

Rozwiązać układ równań

$ (1) \qquad \begin{array}{c} x + y + z + u = 8\\ x^2 + y^2 + z^2 + u^2 = 20\\ xy + xu + zy + zu = 16\\ xyzu = 9 \end{array} $

VII OM - III - Zadanie 6

Dana jest kula o promieniu $R$ i płaszczyzna $\alpha$ nie mająca z tą kulą punktów wspólnych. Po płaszczyźnie $\alpha$ porusza się punkt $S$ , który jest wierzchołkiem stożka stycznego do kuli wzdłuż okręgu o środku $C$ . Znaleźć miejsce geometryczne punktu $C$ .

VII OM - III - Zadanie 5

Dowieść, że każdy wielokąt o obwodzie równym $2a$ można nakryć krążkiem o średnicy równej $a$ .

VII OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli liczby naturalne $a$ , $b$ , $c$ spełniają równanie

$ (1) \qquad a^2 + b^2 = c^2, $

to:

1° co najmniej jedna z liczb $a$ i $b$ jest podzielna przez $3$ ,

2° co najmniej jedna z liczb $a$ i $b$ jest podzielna przez $4$ ,

3° co najmniej jedna z liczb $a$ , $b$ , $c$ jest podzielna przez $5$ .

VII OM - III - Zadanie 3

Na prostej dane są trzy różne punkty $M$ , $D$ , $H$ . Zbudować trójkąt prostokątny, dla którego $M$ jest środkiem przeciwprostokątnej, $D$ - punktem przecięcia dwusiecznej kąta prostego z przeciwprostokątną, a $H$ - spodkiem wysokości na przeciwprostokątną.

Olimpiady Matematyczne